点Oを原点、点Aを(a, -1) (ただし、$a > 0$)、点Bを放物線$y = x^2$上の点（ただし、原点以外）とします。 (1) ベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$が垂直になる時の点Bの座標を$a$で表し、その時の三角形OABの面積Sを$a$で表します。 (2) 内積$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$が最大になる時の点Bの座標を$a$で表し、その時の三角形OABの面積Tを$a$で表します。 (3) (1)と(2)で求めたSとTに対して、$S = 3T$となる時の点Aの座標を求めます。

1. 問題の内容

点Oを原点、点Aを(a, -1) (ただし、$a > 0$)、点Bを放物線$y = x^2$上の点（ただし、原点以外）とします。

(1) ベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$が垂直になる時の点Bの座標を$a$で表し、その時の三角形OABの面積Sを$a$で表します。

(2) 内積$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$が最大になる時の点Bの座標を$a$で表し、その時の三角形OABの面積Tを$a$で表します。

(3) (1)と(2)で求めたSとTに対して、$S = 3T$となる時の点Aの座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OA} = (a, -1)$, $\overrightarrow{OB} = (x, x^2)$とおく。$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$となる時、

$ax - x^2 = 0$

$x(a - x) = 0$

$x = 0$または$x = a$

Bは原点以外より、$x = a$。よって、$B = (a, a^2)$。

面積Sは、$S = \frac{1}{2}|a \cdot a^2 - (-1) \cdot a| = \frac{1}{2}|a^3 + a| = \frac{1}{2}(a^3 + a)$ ($a > 0$より)

(2) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = ax - x^2$

$f(x) = ax - x^2$とすると、$f'(x) = a - 2x$

$f'(x) = 0$より、$x = \frac{a}{2}$

このとき、$B = (\frac{a}{2}, \frac{a^2}{4})$

面積Tは、$T = \frac{1}{2}|a \cdot \frac{a^2}{4} - (-1) \cdot \frac{a}{2}| = \frac{1}{2}|\frac{a^3}{4} + \frac{a}{2}| = \frac{1}{2}(\frac{a^3}{4} + \frac{a}{2}) = \frac{1}{8}(a^3 + 2a)$

(3) $S = 3T$

$\frac{1}{2}(a^3 + a) = 3 \cdot \frac{1}{8}(a^3 + 2a)$

$4(a^3 + a) = 3(a^3 + 2a)$

$4a^3 + 4a = 3a^3 + 6a$

$a^3 - 2a = 0$

$a(a^2 - 2) = 0$

$a = 0$または$a = \pm \sqrt{2}$

$a > 0$より、$a = \sqrt{2}$

よって、$A = (\sqrt{2}, -1)$

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標: $(a, a^2)$, 面積S: $\frac{1}{2}(a^3 + a)$

(2) 点Bの座標: $(\frac{a}{2}, \frac{a^2}{4})$, 面積T: $\frac{1}{8}(a^3 + 2a)$

(3) 点Aの座標: $(\sqrt{2}, -1)$