$a+b=5$ のとき、等式 $a^2+5b=b^2+5a$ を証明する。

1. 問題の内容

$a+b=5$ のとき、等式 $a^2+5b=b^2+5a$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、$a+b=5$ という条件から、$b$ を $a$ で表す。

$b = 5-a$

次に、証明すべき等式の左辺と右辺をそれぞれ計算する。

左辺:

$a^2 + 5b = a^2 + 5(5-a) = a^2 + 25 - 5a$

右辺:

$b^2 + 5a = (5-a)^2 + 5a = 25 - 10a + a^2 + 5a = a^2 - 5a + 25$

左辺と右辺を比較すると、

$a^2 + 25 - 5a = a^2 - 5a + 25$

したがって、$a^2+5b=b^2+5a$ が成り立つ。

別の解き方として、

$a^2+5b=b^2+5a$ を変形して、$a^2-b^2=5a-5b$ となることを示す。

左辺は $(a+b)(a-b)$ と因数分解できるから、

$(a+b)(a-b) = 5(a-b)$

$a+b=5$ より

$5(a-b) = 5(a-b)$

となり、成り立つ。

3. 最終的な答え

$a+b=5$ のとき、等式 $a^2+5b=b^2+5a$ が成り立つ。

(証明終わり)