$\lim_{n \to \infty} \frac{(-2)^n}{4^n - (-3)^n}$ を求めます。

## (4)の問題

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \frac{(-2)^n}{4^n - (-3)^n}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、分母と分子を $4^n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{(-2)^n}{4^n - (-3)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(-2)^n}{4^n}}{\frac{4^n}{4^n} - \frac{(-3)^n}{4^n}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{(-\frac{2}{4})^n}{1 - (-\frac{3}{4})^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-\frac{1}{2})^n}{1 - (-\frac{3}{4})^n}$

ここで、$\lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{2})^n = 0$ と $\lim_{n \to \infty} (-\frac{3}{4})^n = 0$ であることを利用します。

$\left| -\frac{1}{2} \right| < 1$ と $\left| -\frac{3}{4} \right| < 1$ なので、これらの極限は0に収束します。

よって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{(-\frac{1}{2})^n}{1 - (-\frac{3}{4})^n} = \frac{0}{1 - 0} = \frac{0}{1} = 0$

3. 最終的な答え

0

## (5)の問題

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} (5^n - 4^n)$ を求めます。

2. 解き方の手順

$5^n$でくくります。

$\lim_{n \to \infty} (5^n - 4^n) = \lim_{n \to \infty} 5^n (1 - (\frac{4}{5})^n)$

ここで、$\lim_{n \to \infty} (\frac{4}{5})^n = 0$ です。 $\frac{4}{5} < 1$ なので、指数関数は0に収束します。

また、 $\lim_{n \to \infty} 5^n = \infty$ です。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} 5^n (1 - (\frac{4}{5})^n) = \infty (1 - 0) = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$ (無限大)

## (6)の問題

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \{(-2)^n - 2^{2n}\}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$2^{2n} = 4^n$ でくくります。

$\lim_{n \to \infty} \{(-2)^n - 2^{2n}\} = \lim_{n \to \infty} \{(-2)^n - 4^n\} = \lim_{n \to \infty} 4^n \{ (\frac{-2}{4})^n - 1\}$

$= \lim_{n \to \infty} 4^n \{ (-\frac{1}{2})^n - 1\}$

$\lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{2})^n = 0$ であり、$\lim_{n \to \infty} 4^n = \infty$ であることを利用します。

よって、

$\lim_{n \to \infty} 4^n \{ (-\frac{1}{2})^n - 1\} = \lim_{n \to \infty} 4^n \{0 - 1\} = \lim_{n \to \infty} -4^n = -\infty$

3. 最終的な答え

$-\infty$ (負の無限大)