$f(x) = \log(\sqrt{a^2 + x^2} - x)$ が与えられたとき、多項式 $f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3$ を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = \log(\sqrt{a^2 + x^2} - x)$ が与えられたとき、多項式 $f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を計算します。

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2} - x} \cdot \left( \frac{2x}{2\sqrt{a^2 + x^2}} - 1 \right) = \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2} - x} \cdot \left( \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - 1 \right) = \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2} - x} \cdot \frac{x - \sqrt{a^2 + x^2}}{\sqrt{a^2 + x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}$

したがって、

$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} = -(a^2 + x^2)^{-\frac{1}{2}}$

次に、$f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( -(a^2 + x^2)^{-\frac{1}{2}} \right) = - (-\frac{1}{2}) (a^2 + x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x = x(a^2 + x^2)^{-\frac{3}{2}}$

さらに、$f'''(x)$ を計算します。

$f'''(x) = \frac{d}{dx} \left( x(a^2 + x^2)^{-\frac{3}{2}} \right) = (a^2 + x^2)^{-\frac{3}{2}} + x(-\frac{3}{2}) (a^2 + x^2)^{-\frac{5}{2}} \cdot 2x = (a^2 + x^2)^{-\frac{3}{2}} - 3x^2(a^2 + x^2)^{-\frac{5}{2}} = \frac{a^2 + x^2 - 3x^2}{(a^2 + x^2)^{\frac{5}{2}}} = \frac{a^2 - 2x^2}{(a^2 + x^2)^{\frac{5}{2}}}$

次に、それぞれの $x = 0$ における値を計算します。

$f(0) = \log(\sqrt{a^2} - 0) = \log(a)$

$f'(0) = -\frac{1}{\sqrt{a^2 + 0}} = -\frac{1}{a}$

$f''(0) = 0(a^2 + 0)^{-\frac{3}{2}} = 0$

$f'''(0) = \frac{a^2 - 2(0)}{(a^2 + 0)^{\frac{5}{2}}} = \frac{a^2}{a^5} = \frac{1}{a^3}$

したがって、

$f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 = \log(a) - \frac{1}{a}x + \frac{0}{2}x^2 + \frac{\frac{1}{a^3}}{6}x^3 = \log(a) - \frac{1}{a}x + \frac{1}{6a^3}x^3$

3. 最終的な答え

$\log(a) - \frac{1}{a}x + \frac{1}{6a^3}x^3$