3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + b$ について、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $P(t, f(t))$ における接線を $l$ とする。 (1) 接線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) 接線 $l$ が原点を通るような $t$ の値がただ1つに定まるための $a, b$ の条件を求めよ。 (3) $a, b$ が(2)の条件を満たすとき、点 $(a, b)$ の存在する領域を図示せよ。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + b$ について、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $P(t, f(t))$ における接線を $l$ とする。

(1) 接線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 接線 $l$ が原点を通るような $t$ の値がただ1つに定まるための $a, b$ の条件を求めよ。

(3) $a, b$ が(2)の条件を満たすとき、点 $(a, b)$ の存在する領域を図示せよ。

2. 解き方の手順

(1) 接線の方程式を求める。

$f(x) = x^3 + ax^2 + b$ より、$f'(x) = 3x^2 + 2ax$。

点 $P(t, f(t))$ における接線の方程式は、

$y - f(t) = f'(t)(x - t)$

$y - (t^3 + at^2 + b) = (3t^2 + 2at)(x - t)$

$y = (3t^2 + 2at)x - 3t^3 - 2at^2 + t^3 + at^2 + b$

$y = (3t^2 + 2at)x - 2t^3 - at^2 + b$

(2) 接線が原点を通る条件を求める。

接線が原点 $(0, 0)$ を通るとき、$0 = (3t^2 + 2at) \cdot 0 - 2t^3 - at^2 + b$

$2t^3 + at^2 - b = 0$

この $t$ の3次方程式がただ1つの実数解を持つための条件を求める。

$g(t) = 2t^3 + at^2 - b$ とおく。

$g'(t) = 6t^2 + 2at = 2t(3t + a)$

$g'(t) = 0$ となるのは、$t = 0, -\frac{a}{3}$

$t = 0$ のとき、$g(0) = -b$

$t = -\frac{a}{3}$ のとき、$g(-\frac{a}{3}) = 2(-\frac{a}{3})^3 + a(-\frac{a}{3})^2 - b = -\frac{2a^3}{27} + \frac{a^3}{9} - b = \frac{-2a^3 + 3a^3}{27} - b = \frac{a^3}{27} - b$

$g(t) = 0$ がただ1つの実数解を持つためには、

$g(0) \cdot g(-\frac{a}{3}) > 0$

$-b(\frac{a^3}{27} - b) > 0$

$b(\frac{a^3}{27} - b) < 0$

$b(\frac{a^3 - 27b}{27}) < 0$

$b(a^3 - 27b) < 0$

(i) $b > 0$ のとき、$a^3 - 27b < 0$ より、$a^3 < 27b$ つまり $b > \frac{a^3}{27}$

(ii) $b < 0$ のとき、$a^3 - 27b > 0$ より、$a^3 > 27b$ つまり $b < \frac{a^3}{27}$

したがって、$b > \frac{a^3}{27}$ または $b < \frac{a^3}{27}$

$g(0)=0$または$g(-\frac{a}{3})=0$のときは、g(t)=0が重解をもつ。

$g(0) = 0$のとき、$b=0$であるから、$2t^3 + at^2 = t^2(2t+a)=0$。$t=0, -\frac{a}{2}$となり、2つの実数解をもつため、不適。

$g(-\frac{a}{3}) = 0$のとき、$a^3=27b$であるから、$2t^3 + at^2 - \frac{a^3}{27} = 0$。

$2(t+\frac{a}{3})^2(t-\frac{a}{6}) = 0$となり、$t=-\frac{a}{3}, \frac{a}{6}$となり、2つの実数解をもつため、不適。

したがって、$b(a^3 - 27b) < 0$を満たすことが条件となる。

(3) 領域を図示する。

$b(a^3 - 27b) < 0$

$b(a^3 - 27b) = 0$ は $b = 0$ または $a^3 = 27b$ つまり $b = \frac{a^3}{27}$

$b = \frac{a^3}{27}$ のグラフを描き、不等式を満たす領域を斜線で示す。

$b > 0$ かつ $b > \frac{a^3}{27}$ または $b < 0$ かつ $b < \frac{a^3}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $y = (3t^2 + 2at)x - 2t^3 - at^2 + b$

(2) $b(a^3 - 27b) < 0$

(3) 領域は、曲線 $b = \frac{a^3}{27}$ の上側 ($b > 0$ の部分) と下側 ($b < 0$ の部分) で、境界線を含まない。