2次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の解を $\alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ とする。数列 $\{a_n\}$ を $a_n = \alpha^{n-1} + \beta^{n-1} (n = 1, 2, 3, \dots)$ により定める。以下の問いに答えよ。 (1) $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ を求めよ。 (2) 自然数 $n$ に対して、$\alpha^{n+1} - \alpha^n = \alpha^{n-1}, \beta^{n+1} - \beta^n = \beta^{n-1}$ が成り立つことを示せ。 (3) 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とする。すなわち、$b_n = a_{n+1} - a_n (n = 1, 2, 3, \dots)$ である。$b_1$ を求めよ。また、$n \geq 2$ に対して、$b_n = a_{n-1}$ が成り立つことを示せ。 (4) 自然数 $n$ に対して、$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_{n+2} - 1$ が成り立つことを示せ。 (5) 自然数 $n$ に対して、$\sum_{k=1}^{n} a_k^2 = a_n a_{n+1} + 2$ が成り立つことを示せ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の解を $\alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ とする。数列 $\{a_n\}$ を $a_n = \alpha^{n-1} + \beta^{n-1} (n = 1, 2, 3, \dots)$ により定める。以下の問いに答えよ。

(1) $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ を求めよ。

(2) 自然数 $n$ に対して、$\alpha^{n+1} - \alpha^n = \alpha^{n-1}, \beta^{n+1} - \beta^n = \beta^{n-1}$ が成り立つことを示せ。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とする。すなわち、$b_n = a_{n+1} - a_n (n = 1, 2, 3, \dots)$ である。$b_1$ を求めよ。また、$n \geq 2$ に対して、$b_n = a_{n-1}$ が成り立つことを示せ。

(4) 自然数 $n$ に対して、$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_{n+2} - 1$ が成り立つことを示せ。

(5) 自然数 $n$ に対して、$\sum_{k=1}^{n} a_k^2 = a_n a_{n+1} + 2$ が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

$a_n = \alpha^{n-1} + \beta^{n-1}$ より

$a_1 = \alpha^0 + \beta^0 = 1 + 1 = 2$

$a_2 = \alpha^1 + \beta^1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1$

$a_3 = \alpha^2 + \beta^2 = (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^2 + (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} + \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$a_4 = \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2})(3 - (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})) = (1)(3 - (\frac{1 - 5}{4})) = 3 - (-1) = 4$

$a_5 = \alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2\alpha^2 \beta^2 = 3^2 - 2(\frac{1-5}{4})^2 = 9 - 2(-1)^2 = 9 - 2 = 7$

(2)

$\alpha, \beta$ は $x^2 - x - 1 = 0$ の解なので、$\alpha^2 - \alpha - 1 = 0$ つまり $\alpha^2 = \alpha + 1$ が成り立つ。

$\alpha^{n+1} - \alpha^n = \alpha^{n-1}(\alpha^2 - \alpha) = \alpha^{n-1}(\alpha + 1 - \alpha) = \alpha^{n-1}$

同様に、$\beta^{n+1} - \beta^n = \beta^{n-1}(\beta^2 - \beta) = \beta^{n-1}(\beta + 1 - \beta) = \beta^{n-1}$

(3)

$b_1 = a_2 - a_1 = 1 - 2 = -1$

$b_n = a_{n+1} - a_n = (\alpha^n + \beta^n) - (\alpha^{n-1} + \beta^{n-1}) = (\alpha^n - \alpha^{n-1}) + (\beta^n - \beta^{n-1}) = \alpha^{n-2} + \beta^{n-2} = a_{n-1}$

(n>=2)

(4) 数学的帰納法で示す。

n=1のとき

$\sum_{k=1}^{1} a_k = a_1 = 2$

$a_{1+2}-1 = a_3-1 = 3-1 = 2$

よってn=1のとき成り立つ。

n=mのとき成り立つと仮定する。

$\sum_{k=1}^{m} a_k = a_{m+2} - 1$

n=m+1のとき

$\sum_{k=1}^{m+1} a_k = \sum_{k=1}^{m} a_k + a_{m+1} = a_{m+2} - 1 + a_{m+1} = a_{m+2} + a_{m+1} - 1$

$a_{m+3} = \alpha^{m+2} + \beta^{m+2} = (\alpha + \beta)(\alpha^{m+1} + \beta^{m+1}) - \alpha\beta(\alpha^m + \beta^m)$

$a_{m+3} = (\alpha^{m+1} + \beta^{m+1}) + (\alpha^{m} + \beta^{m})$

$a_{m+3} = a_{m+2} + a_{m+1}$

よって

$\sum_{k=1}^{m+1} a_k = a_{m+3} - 1$

したがって、n=m+1のときも成り立つ。

(5) 数学的帰納法で示す。

n=1のとき

$\sum_{k=1}^{1} a_k^2 = a_1^2 = 2^2 = 4$

$a_1 a_2 + 2 = 2 \cdot 1 + 2 = 4$

よってn=1のとき成り立つ。

n=mのとき成り立つと仮定する。

$\sum_{k=1}^{m} a_k^2 = a_m a_{m+1} + 2$

n=m+1のとき

$\sum_{k=1}^{m+1} a_k^2 = \sum_{k=1}^{m} a_k^2 + a_{m+1}^2 = a_m a_{m+1} + 2 + a_{m+1}^2 = a_{m+1}(a_m + a_{m+1}) + 2$

$a_{m+2} = a_{m+1} + a_m$ より

$\sum_{k=1}^{m+1} a_k^2 = a_{m+1} a_{m+2} + 2$

したがって、n=m+1のときも成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 3, a_4 = 4, a_5 = 7$

(2) $\alpha^{n+1} - \alpha^n = \alpha^{n-1}, \beta^{n+1} - \beta^n = \beta^{n-1}$

(3) $b_1 = -1, b_n = a_{n-1}$ (n>=2)

(4) $\sum_{k=1}^{n} a_k = a_{n+2} - 1$

(5) $\sum_{k=1}^{n} a_k^2 = a_n a_{n+1} + 2$