与えられた多項式 $x^2 - xy - 6y^2 + 2x + 19y - 15$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^2 - xy - 6y^2 + 2x + 19y - 15$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$についての2次式と見て整理します。

$x^2 + (-y+2)x + (-6y^2+19y-15)$

次に、定数項 $-6y^2+19y-15$ を因数分解します。

$-6y^2 + 19y - 15 = -(6y^2 - 19y + 15)$

$6y^2 - 19y + 15 = (2y-3)(3y-5)$

よって、

$-6y^2 + 19y - 15 = -(2y-3)(3y-5) = (3-2y)(3y-5)$

$x^2 + (-y+2)x + (3-2y)(3y-5)$

この式が $(x+A)(x+B)$ の形に因数分解できると仮定すると、

$A+B = -y+2$

$AB = (3-2y)(3y-5)$

$AB=(3-2y)(3y-5) = (-2y+3)(3y-5)$ なので、

$A = -2y+3$ と $B = 3y-5$ とおいて、$A+B$ を計算すると、

$A+B = -2y+3 + 3y-5 = y - 2$

これは $-y+2$ の符号を反転させたものなので、

$A = 2y-3$ と $B = -3y+5$ とおいて、$A+B$ を計算すると、

$A+B = 2y-3 -3y+5 = -y+2$

$AB = (2y-3)(-3y+5) = -6y^2 + 19y - 15$

したがって、

$x^2 + (-y+2)x + (-6y^2+19y-15) = (x+2y-3)(x-3y+5)$

3. 最終的な答え

$(x+2y-3)(x-3y+5)$