与えられた5つの数式をそれぞれ計算し、簡単にします。 (1) $2\sqrt{27} - 3\sqrt{12} + \sqrt{54}$ (2) $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2$ (3) $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{8}}$ (4) $\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ (5) $\frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{6}(1 - \sqrt{3})}$

1. 問題の内容

与えられた5つの数式をそれぞれ計算し、簡単にします。

(1) $2\sqrt{27} - 3\sqrt{12} + \sqrt{54}$

(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2$

(3) $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{8}}$

(4) $\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

(5) $\frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{6}(1 - \sqrt{3})}$

2. 解き方の手順

(1) $2\sqrt{27} - 3\sqrt{12} + \sqrt{54}$ を計算します。

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$

よって、

$2\sqrt{27} - 3\sqrt{12} + \sqrt{54} = 2(3\sqrt{3}) - 3(2\sqrt{3}) + 3\sqrt{6} = 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2$ を計算します。

$(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 3 + 2\sqrt{18} + 6 = 9 + 2\sqrt{9 \times 2} = 9 + 2(3\sqrt{2}) = 9 + 6\sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{8}}$ を計算します。

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(4) $\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ を計算します。

$\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{6} + \sqrt{6} + (\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2(3) + 3\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = \frac{6 + 3\sqrt{6} + 2}{1} = 8 + 3\sqrt{6}$

(5) $\frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{6}(1 - \sqrt{3})}$ を計算します。

$\frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{6}(1 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{6}(1 - \sqrt{3})} = \frac{-\sqrt{3}(1 - \sqrt{3})}{\sqrt{6}(1 - \sqrt{3})} = \frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = -\sqrt{\frac{3}{6}} = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{6}$

(2) $9 + 6\sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(4) $8 + 3\sqrt{6}$

(5) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$