ある工場で新しい製法を導入した結果、不良率が下がったかどうかを有意水準5%で片側検定する。 不良率は以前は20%であった。新製法で作られた100個の製品を調べたところ、不良品は14個であった。 与えられた情報から、帰無仮説、Xの分布、Zの値、結論を導く。

1. 問題の内容

ある工場で新しい製法を導入した結果、不良率が下がったかどうかを有意水準5%で片側検定する。

不良率は以前は20%であった。新製法で作られた100個の製品を調べたところ、不良品は14個であった。

与えられた情報から、帰無仮説、Xの分布、Zの値、結論を導く。

2. 解き方の手順

まず、帰無仮説を立てる。帰無仮説は「新製法によって不良率は変わらない（以前の不良率と同じ）」なので、p=0.2となる。

次に、Xの分布を考える。Xは100個の標本に含まれる不良品の個数なので、二項分布B(100, 0.2)に従う。

標本サイズが大きいので、Xの分布は正規分布N(μ, σ^2)で近似できる。

ここで、μ = np = 100 * 0.2 = 20

σ^2 = np(1-p) = 100 * 0.2 * 0.8 = 16

したがって、Xの分布は正規分布N(20, 16)で近似できる。

次に、Zを計算する。

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

$Z = \frac{14 - 20}{\sqrt{16}}$

$Z = \frac{-6}{4} = -1.5$

有意水準5%の棄却域はZ ≤ -1.64である。

計算されたZの値は-1.5であり、これは棄却域に含まれない。

したがって、帰無仮説は棄却できない。

3. 最終的な答え

帰無仮説は棄却できないので、新製法により不良率は下がったと判断できない。

p=0.2

B(100, 0.2)

N(20, 16)

-1.5

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