初項から第6項までの和が3、初項から第12項までの和が9である等比数列において、初項から第18項までの和を求める。

1. 問題の内容

初項から第6項までの和が3、初項から第12項までの和が9である等比数列において、初項から第18項までの和を求める。

2. 解き方の手順

初項を $a$、公比を $r$ とする。

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

と表される。ただし、$r \ne 1$ とする。

問題文より、

$S_6 = \frac{a(1-r^6)}{1-r} = 3$ (1)

$S_{12} = \frac{a(1-r^{12})}{1-r} = 9$ (2)

初項から第18項までの和を $S_{18}$ とすると、

$S_{18} = \frac{a(1-r^{18})}{1-r}$ (3)

(2) ÷ (1) を計算すると、

$\frac{S_{12}}{S_6} = \frac{\frac{a(1-r^{12})}{1-r}}{\frac{a(1-r^6)}{1-r}} = \frac{1-r^{12}}{1-r^6} = \frac{(1-r^6)(1+r^6)}{1-r^6} = 1+r^6 = \frac{9}{3} = 3$

$r^6 = 2$

(3)を変形すると、

$S_{18} = \frac{a(1-r^{18})}{1-r} = \frac{a(1-(r^6)^3)}{1-r} = \frac{a(1-(2)^3)}{1-r} = \frac{a(1-8)}{1-r} = \frac{-7a}{1-r}$

さらに変形すると、

$S_{18} = \frac{a(1-r^{18})}{1-r} = \frac{a(1-(r^6)^3)}{1-r} = \frac{a(1-r^6)(1+r^6+r^{12})}{1-r}$

$= \frac{a(1-r^6)}{1-r} (1+r^6+r^{12}) = S_6 (1+r^6+(r^6)^2) = 3(1+2+2^2) = 3(1+2+4) = 3(7) = 21$

3. 最終的な答え

21