与えられた式 $x^3 + 3xy + y^3 - 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 + 3xy + y^3 - 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。$x^3 + y^3 - 1 + 3xy$ と並び替えることができます。

$1$を$1^3$と見て、$x^3 + y^3 + (-1)^3 - 3xy(-1)$という形に近づけます。

ここで、因数分解の公式 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ を利用します。

$a = x$, $b = y$, $c = -1$ とすると、与えられた式は

$x^3 + y^3 + (-1)^3 - 3x \cdot y \cdot (-1) = x^3 + y^3 - 1 + 3xy$ となり、公式の左辺と一致します。

したがって、公式の右辺に代入すると

$(x + y - 1)(x^2 + y^2 + (-1)^2 - x \cdot y - y \cdot (-1) - (-1) \cdot x) = (x+y-1)(x^2 + y^2 + 1 - xy + y + x)$

となります。

3. 最終的な答え

$(x+y-1)(x^2+y^2-xy+x+y+1)$