$x^3 - 3cx + 1 = 0$ (方程式①) について、以下の問いに答える。 (1) 方程式①がただ1つの実数解を持つための $c$ に関する必要十分条件を $c < c_0$ で表す。また、$c < c_0$ のとき、実数解 $a$ の値の範囲を求める。 (2) $c < c_0$ のとき、方程式①の虚数解を $\alpha + \beta i$, $\alpha - \beta i$ ( $i$ は虚数単位, $\alpha, \beta$ は実数, $\beta \neq 0$ ) とする。これらの虚数解の絶対値 $\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ を実数解 $a$ を用いて表す。特に $0 < c < c_0$ のとき、$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x^3 - 3cx + 1 = 0$ (方程式①) について、以下の問いに答える。

(1) 方程式①がただ1つの実数解を持つための $c$ に関する必要十分条件を $c < c_0$ で表す。また、$c < c_0$ のとき、実数解 $a$ の値の範囲を求める。

(2) $c < c_0$ のとき、方程式①の虚数解を $\alpha + \beta i$, $\alpha - \beta i$ ( $i$ は虚数単位, $\alpha, \beta$ は実数, $\beta \neq 0$ ) とする。これらの虚数解の絶対値 $\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ を実数解 $a$ を用いて表す。特に $0 < c < c_0$ のとき、$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

方程式 $x^3 - 3cx + 1 = 0$ を $f(x) = x^3 - 3cx + 1$ とおくと、$f'(x) = 3x^2 - 3c$

$f(x)$ がただ1つの実数解を持つための条件は、$f(x)$ が極値を持たないか、または極値を持つ場合に極大値と極小値の積が正であることである。

$f'(x) = 0$ となるのは $x = \pm \sqrt{c}$ のときなので、$c < 0$ のときは極値を持たない。

$c \geq 0$ のとき、$f(x)$ は $x = \sqrt{c}$ で極小値 $f(\sqrt{c}) = c\sqrt{c} - 3c\sqrt{c} + 1 = -2c\sqrt{c} + 1$ をとり、$x = -\sqrt{c}$ で極大値 $f(-\sqrt{c}) = -c\sqrt{c} + 3c\sqrt{c} + 1 = 2c\sqrt{c} + 1$ をとる。

したがって、極大値と極小値の積は $(2c\sqrt{c} + 1)(-2c\sqrt{c} + 1) = 1 - 4c^3$ となる。

$f(x)$ がただ1つの実数解を持つ条件は $1 - 4c^3 > 0$ より $c^3 < \frac{1}{4}$ つまり $c < \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

$x^2 + \frac{1}{x} = 3c$ と表せる事に注意すると、$x \neq 0$ であり、$x^3 - 3cx + 1 = 0$ が成り立ち、方程式①がただ１つの実数解を持つための $c$ に関する十分条件は$c < c_0$ で表せる。

$c_0 = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

$c < c_0$ のときの実数解の取りうる範囲について、

$c < c_0 = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ のとき、$f(x) = x^3 - 3cx + 1 = 0$ は1つの実数解を持つ。

また、$c < c_0$ のとき、$f(x)$ は単調増加でない。

(2)

$c < c_0 = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ のとき、方程式①の虚数解を $\alpha + \beta i$, $\alpha - \beta i$ ( $i$ は虚数単位, $\alpha, \beta$ は実数, $\beta \neq 0$ )とする。

解と係数の関係より、実数解を $a$ とすると、

$a + \alpha + \beta i + \alpha - \beta i = a + 2\alpha = 0$

$a(\alpha + \beta i) + a(\alpha - \beta i) + (\alpha + \beta i)(\alpha - \beta i) = 2a\alpha + \alpha^2 + \beta^2 = -3c$

$a(\alpha + \beta i)(\alpha - \beta i) = a(\alpha^2 + \beta^2) = -1$

$a + 2\alpha = 0$ より $\alpha = -\frac{a}{2}$

$2a\alpha + \alpha^2 + \beta^2 = -a^2 + \frac{a^2}{4} + \beta^2 = -\frac{3}{4}a^2 + \beta^2 = -3c$

$\beta^2 = \frac{3}{4}a^2 - 3c$

$a(\alpha^2 + \beta^2) = a(\frac{a^2}{4} + \frac{3}{4}a^2 - 3c) = a(a^2 - 3c) = -1$ (これは $f(a) = 0$ と一致する)

したがって、$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3}{4}a^2 - 3c} = \sqrt{a^2 - 3c}$

$a^2 - 3c = \sqrt{\frac{1}{a}}$

$0 < c < c_0$ のとき、$x^3 - 3cx + 1 = 0$ より $3cx = x^3 + 1$

$c = \frac{x^3 + 1}{3x}$

$f'(x) = 3x^2 - 3c = 0$ とすると $x = \pm \sqrt{c}$

3. 最終的な答え

(1) $c_0 = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

$-2 < a < 2$

(2) $\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \sqrt{a^2 - 3c}$

$\frac{1}{\sqrt{|a|}} < \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} < 1$