与えられた数 $-3, 0, 5, \frac{21}{3}, -\frac{9}{16}, \sqrt{3}, 0.23, 0.6, \pi$ の中から無理数を選び出す問題。ただし、$\pi$は円周率。

## 問題3

1. 問題の内容

与えられた数 $-3, 0, 5, \frac{21}{3}, -\frac{9}{16}, \sqrt{3}, 0.23, 0.6, \pi$ の中から無理数を選び出す問題。ただし、$\pi$は円周率。

2. 解き方の手順

無理数とは、有理数でない実数のこと。つまり、分数で表せない数。

* $-3, 0, 5$ は整数なので有理数。

* $\frac{21}{3} = 7$ は整数なので有理数。

* $-\frac{9}{16}$ は分数なので有理数。

* $\sqrt{3}$ は無理数。（$\sqrt{3}$を2乗すると3になるが、そのような有理数は存在しないため。）

* $0.23$ は $\frac{23}{100}$ と表せるので有理数。

* $0.6$ は $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ と表せるので有理数。

* $\pi$ は無理数。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}, \pi$

## 問題4

1. 問題の内容

次の選択肢の中から正しいものをすべて選ぶ問題。

1. 2つの自然数の和、差は常に自然数である。

2. 2つの整数の和、差、積、商は常に整数である。

3. 2つの有理数の和、差、積、商は常に有理数である。

4. 2つの実数の和、差、積、商は常に実数である。

2. 解き方の手順

1. 自然数とは、正の整数のこと。例えば、$1, 2, 3, ...$ 。

2つの自然数の差は常に自然数とは限らない。例えば、$1 - 2 = -1$ は自然数ではない。

したがって、選択肢1は誤り。

2. 整数とは、正の整数、0、負の整数のこと。例えば、$... -2, -1, 0, 1, 2, ...$。

2つの整数の商は常に整数とは限らない。例えば、$1 \div 2 = \frac{1}{2}$ は整数ではない。

したがって、選択肢2は誤り。

3. 有理数とは、分数で表せる数のこと。

2つの有理数の和、差、積は常に有理数である。しかし、商については、割る数が0でない場合に有理数となる。

ただし、問題文では常にとなっているため、正確には誤りです。厳密には0で割る場合を除くと記述されるべきです。

ここでは、高校数学の範囲として、有理数/有理数=有理数として考えます。

したがって、選択肢3は正しい。

4. 実数とは、有理数と無理数を合わせた数のこと。

2つの実数の和、差、積は常に実数である。商についても、割る数が0でない場合に実数となる。

ただし、問題文では常にとなっているため、正確には誤りです。厳密には0で割る場合を除くと記述されるべきです。

ここでは、高校数学の範囲として、実数/実数=実数として考えます。

したがって、選択肢4は正しい。

3. 最終的な答え

3, 4

## 問題5

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、(1) $a, b$ の値を求めよ。(2) $b + \frac{1}{b}, b^2 + \frac{1}{b^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} \times \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ より $2 < \sqrt{5} < 3$

よって、$4 < \sqrt{5}+2 < 5$

したがって、$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数の部分は $a = 4$ である。

小数の部分は $b = (\sqrt{5}+2) - 4 = \sqrt{5}-2$

(2) $b + \frac{1}{b} = (\sqrt{5}-2) + \frac{1}{\sqrt{5}-2} = (\sqrt{5}-2) + (\sqrt{5}+2) = 2\sqrt{5}$

$b^2 + \frac{1}{b^2} = (b + \frac{1}{b})^2 - 2 \times b \times \frac{1}{b} = (2\sqrt{5})^2 - 2 = 4 \times 5 - 2 = 20 - 2 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4, b = \sqrt{5}-2$

(2) $b + \frac{1}{b} = 2\sqrt{5}, b^2 + \frac{1}{b^2} = 18$