正の整数 $a$ と $b$ があり、$a < b$ であるとき、次の式を満たす $a$ と $b$ の組み合わせの数を求める問題です。 $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{10} $$

1. 問題の内容

正の整数 $a$ と $b$ があり、$a < b$ であるとき、次の式を満たす $a$ と $b$ の組み合わせの数を求める問題です。

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{10}$$

2. 解き方の手順

与えられた式を変形します。

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{10}$$

両辺に $10ab$ を掛けると、

$$10b + 10a = ab$$

変形して

$$ab - 10a - 10b = 0$$

両辺に $100$ を足すと

$$ab - 10a - 10b + 100 = 100$$

$$(a - 10)(b - 10) = 100$$

$a$ と $b$ は正の整数で、$a < b$ であるため、$a - 10$ と $b - 10$ も整数です。

$100$ の約数を考えます。$100 = 2^2 \times 5^2$ なので、約数は $1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100$ です。

$a-10 < b-10$ でなければならないので、$a-10$ が上記の約数のいずれか、あるいは負の約数である可能性を検討します。

$a > 0$ である必要があるため、$a - 10 > -10$ である必要があります。

また、$a < b$ より、$a-10 < b-10$ である必要があります。

$100$ の約数の組で、$a = (a-10) + 10 > 0$ となるものを探します。

$a - 10$ と $b - 10$ の組み合わせは以下のようになります。

\begin{itemize}

\item $a - 10 = 1$, $b - 10 = 100$. $a = 11$, $b = 110$.

\item $a - 10 = 2$, $b - 10 = 50$. $a = 12$, $b = 60$.

\item $a - 10 = 4$, $b - 10 = 25$. $a = 14$, $b = 35$.

\item $a - 10 = 5$, $b - 10 = 20$. $a = 15$, $b = 30$.

\item $a - 10 = 10$, $b - 10 = 10$. $a = 20$, $b = 20$. これは $a < b$ を満たさないので除外。

\end{itemize}

上記の組み合わせはすべて $a < b$ を満たしています。

したがって、$a$ と $b$ の組み合わせは4組です。

3. 最終的な答え

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