$\lim_{x \to \infty} x \arcsin \frac{1}{x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} x \arcsin \frac{1}{x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\arcsin u$ の $u=0$ におけるテイラー展開（またはマクローリン展開）を考えます。

$\arcsin u = u + \frac{1}{6} u^3 + \frac{3}{40} u^5 + \dots$ です。

したがって、

$x \arcsin \frac{1}{x} = x \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{6} \frac{1}{x^3} + \frac{3}{40} \frac{1}{x^5} + \dots \right) = 1 + \frac{1}{6} \frac{1}{x^2} + \frac{3}{40} \frac{1}{x^4} + \dots$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x^n} \to 0$ なので、$n>0$ に対して、

$\lim_{x \to \infty} x \arcsin \frac{1}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{6} \frac{1}{x^2} + \frac{3}{40} \frac{1}{x^4} + \dots \right) = 1$

別の解法としては、$\frac{1}{x}=t$とおくと、$x \to \infty$のとき、$t \to 0$となるので、

$\lim_{x \to \infty} x \arcsin \frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{\arcsin t}{t}$

ここで、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{t \to 0} \frac{\arcsin t}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-0}} = 1$

3. 最終的な答え

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