問題は、教科書P31の公式1の(6)を証明することです。これは、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3$となることを示す問題です。公式を使っても良いとされています。

1. 問題の内容

問題は、教科書P31の公式1の(6)を証明することです。これは、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3$となることを示す問題です。公式を使っても良いとされています。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$という公式（おそらく教科書P31の公式1の(1)か(2)）を利用することを考えます。

与えられた式を変形して、この公式が使える形にします。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$

ここで、分子の引数が$3x$なので、分母も$3x$の形にすることを考えます。

分母を$3x$にするために、$3$を掛けます。その分、式の値が変わらないように$3$を掛けます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \frac{3}{3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot 3$

ここで、$y = 3x$とおくと、$x \to 0$のとき、$y \to 0$です。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot 3 = \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} \cdot 3$

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$を用いると、

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3$