問題は、第4回課題の1つとして、P31の公式1の(6)を証明することです。また、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を使っても良いと書かれています。公式1の(6)は $(\cos x)' = -\sin x$ であることが示されています。

1. 問題の内容

問題は、第4回課題の1つとして、P31の公式1の(6)を証明することです。また、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を使っても良いと書かれています。公式1の(6)は $(\cos x)' = -\sin x$ であることが示されています。

2. 解き方の手順

公式1の(6) $(\cos x)' = -\sin x$ を示すためには、導関数の定義を使う必要があります。

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

です。

この定義に従って、$f(x) = \cos x$ の導関数を計算します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos(x)}{h}$

$\cos(x+h)$ を加法定理を用いて展開します。

$\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$

これを代入すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}$

$\cos x$ でくくると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \cos x \frac{\cos h - 1}{h} - \lim_{h \to 0} \sin x \frac{\sin h}{h}$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ と $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$ を使います。

$f'(x) = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1$

$f'(x) = -\sin x$

したがって、$(\cos x)' = -\sin x$ が示されました。

3. 最終的な答え

$(\cos x)' = -\sin x$