楕円 $2x^2 + y^2 = 8$ と直線 $y = x + k$ が接するように、$k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

楕円 $2x^2 + y^2 = 8$ と直線 $y = x + k$ が接するように、$k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

楕円と直線が接するということは、それらの連立方程式が重解を持つということです。

ステップ1: 直線の式を楕円の式に代入します。

$2x^2 + (x + k)^2 = 8$

$2x^2 + x^2 + 2kx + k^2 = 8$

$3x^2 + 2kx + k^2 - 8 = 0$

ステップ2: この二次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $0$ になることです。

$D = (2k)^2 - 4(3)(k^2 - 8) = 0$

$4k^2 - 12(k^2 - 8) = 0$

$4k^2 - 12k^2 + 96 = 0$

$-8k^2 + 96 = 0$

$8k^2 = 96$

$k^2 = 12$

$k = \pm \sqrt{12}$

$k = \pm 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$k = \pm 2\sqrt{3}$