与えられた多項式 $A$ を多項式 $B$ で割ったときの商と余りを、組立除法を用いて求める問題です。以下の4つの問題があります。 (1) $A = x^3 - 5x + 6$, $B = x - 2$ (2) $A = x^3 + 2x^2 - x - 3$, $B = x - 1$ (3) $A = 4x^2 - 2x + 2$, $B = x - 1$ (4) $A = 3x^4 + 5x^3 - 2x - 12$, $B = x + 2$

1. 問題の内容

与えられた多項式 $A$ を多項式 $B$ で割ったときの商と余りを、組立除法を用いて求める問題です。以下の4つの問題があります。

(1) $A = x^3 - 5x + 6$, $B = x - 2$

(2) $A = x^3 + 2x^2 - x - 3$, $B = x - 1$

(3) $A = 4x^2 - 2x + 2$, $B = x - 1$

(4) $A = 3x^4 + 5x^3 - 2x - 12$, $B = x + 2$

2. 解き方の手順

組立除法は、多項式を一次式 $x - a$ で割る場合に効率的に商と余りを計算する方法です。各問題に対して以下の手順で組立除法を行います。

(1) $A = x^3 - 5x + 6$, $B = x - 2$

$B= x - 2$ より $a = 2$ を用います。

$A$ の係数を並べると、1, 0, -5, 6 です。

| | 1 | 0 | -5 | 6 |

|----|----|----|----|----|

| 2 | | 2 | 4 | -2 |

| | 1 | 2 | -1 | 4 |

商は $x^2 + 2x - 1$ で、余りは 4 です。

(2) $A = x^3 + 2x^2 - x - 3$, $B = x - 1$

$B = x - 1$ より $a = 1$ を用います。

$A$ の係数を並べると、1, 2, -1, -3 です。

| | 1 | 2 | -1 | -3 |

|----|----|----|----|----|

| 1 | | 1 | 3 | 2 |

| | 1 | 3 | 2 | -1 |

商は $x^2 + 3x + 2$ で、余りは -1 です。

(3) $A = 4x^2 - 2x + 2$, $B = x - 1$

$B = x - 1$ より $a = 1$ を用います。

$A$ の係数を並べると、4, -2, 2 です。

| | 4 | -2 | 2 |

|----|----|----|----|

| 1 | | 4 | 2 |

| | 4 | 2 | 4 |

商は $4x + 2$ で、余りは 4 です。

(4) $A = 3x^4 + 5x^3 - 2x - 12$, $B = x + 2$

$B = x + 2$ より $a = -2$ を用います。

$A$ の係数を並べると、3, 5, 0, -2, -12 です。

| | 3 | 5 | 0 | -2 | -12 |

|----|----|----|----|----|-----|

| -2 | | -6 | 2 | -4 | 12 |

| | 3 | -1 | 2 | -6 | 0 |

商は $3x^3 - x^2 + 2x - 6$ で、余りは 0 です。

3. 最終的な答え

(1) 商: $x^2 + 2x - 1$, 余り: 4

(2) 商: $x^2 + 3x + 2$, 余り: -1

(3) 商: $4x + 2$, 余り: 4

(4) 商: $3x^3 - x^2 + 2x - 6$, 余り: 0