与えられた多項式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の2次式と見て整理します。

$3x^2 + (13 - 14y)x + (15y^2 - 23y + 4)$

定数項 $15y^2 - 23y + 4$ を因数分解します。

$15y^2 - 23y + 4 = (3y - 4)(5y - 1)$

したがって、$3x^2 + (13 - 14y)x + (3y - 4)(5y - 1)$ を因数分解することを試みます。

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形を仮定して展開すると、$ax \cdot dx = 3x^2$ になるように $a$ と $d$ を決めます。$a=3, d=1$ と仮定すると、

$(3x + by + c)(x + ey + f)$ となります。

係数を比較することで、因数分解を試みます。

$(3y - 4)(5y - 1)$ が定数項の候補なので、以下を試します。

$(3x + Ay + B)(x + Cy + D)$ を展開すると、

$3x^2 + (3C + A)xy + ACy^2 + (3D + B)x + (AD + BC)y + BD$

与式と比較すると、

$3C + A = -14$

$AC = 15$

$3D + B = 13$

$AD + BC = -23$

$BD = 4$

これらの条件を満たすように $A, B, C, D$ を決定します。

$15y^2 - 23y + 4 = (3y-4)(5y-1)$ なので、

$(3x + 5y - 1)(x + 3y - 4)$ または $(3x + 3y - 4)(x + 5y - 1)$ を試します。

$(3x + 5y - 1)(x + 3y - 4) = 3x^2 + 9xy - 12x + 5xy + 15y^2 - 20y - x - 3y + 4 = 3x^2 + 14xy + 15y^2 - 13x - 23y + 4$

係数にマイナスがついていますが、絶対値は合っているので、$x$と$y$の符号に注意しながら調整すると、

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$ となります。展開すると、

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4) = 3x^2 - 9xy + 12x - 5xy + 15y^2 - 20y + x - 3y + 4 = 3x^2 - 14xy + 13x + 15y^2 - 23y + 4$

となり、与式と一致します。

3. 最終的な答え

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$