方程式 $19x - 11y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ のうち、$x$ の値が最も 100 に近いときの $y$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $19x - 11y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ のうち、$x$ の値が最も 100 に近いときの $y$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、方程式 $19x - 11y = 1$ の特殊解を求めます。

$19 \cdot 6 - 11 \cdot 10 = 114 - 110 = 4$

$19 \cdot 1 - 11 \cdot 1 = 19-11 = 8$

$19(6)-11(10) = 4$

$19x - 11y = 1$

$19x = 11y+1$

$x = \frac{11y+1}{19}$

$y=3$ を代入してみると

$x = \frac{11(3)+1}{19} = \frac{34}{19}$　これは整数ではない。

$y=8$　だと

$x = \frac{11(8)+1}{19} = \frac{89}{19}$これも整数ではない。

$19x - 11y = 1$ の整数解を一つ見つける必要があります。

$19x - 11y = 1$

$19(6) - 11(10) = 4$

$19(3) - 11(5) = 2$

$19x \equiv 1 \pmod{11}$

$19 \equiv 8 \pmod{11}$

$8x \equiv 1 \pmod{11}$

$8x \equiv 12 \pmod{11}$

$2x \equiv 3 \pmod{11}$

$2x \equiv 14 \pmod{11}$

$x \equiv 7 \pmod{11}$

$x = 7$ を代入すると

$19(7) - 11y = 1$

$133 - 11y = 1$

$11y = 132$

$y = 12$

したがって、特殊解の一つは $(x, y) = (7, 12)$ です。

一般解は、

$19(x - 7) - 11(y - 12) = 0$

$19(x - 7) = 11(y - 12)$

$x - 7 = 11k, y - 12 = 19k$ (kは整数)

$x = 11k + 7, y = 19k + 12$

$x$ が 100 に最も近いときを求めるので、

$x = 11k + 7 \approx 100$

$11k \approx 93$

$k \approx 8.45$

$k = 8$ のとき $x = 11(8) + 7 = 88 + 7 = 95$

$k = 9$ のとき $x = 11(9) + 7 = 99 + 7 = 106$

$x = 95$ のとき $y = 19(8) + 12 = 152 + 12 = 164$

$x = 106$ のとき $y = 19(9) + 12 = 171 + 12 = 183$

$x$ の値が最も 100 に近いのは $x = 95$ のときなので、そのときの $y$ の値は 164 です。

3. 最終的な答え

164