与えられた3つの三角関数 $y = \cos 2\theta$, $y = \sin \frac{\theta}{2}$, $y = \tan 2\theta$ のグラフを描き、それぞれの周期を求める。

1. 問題の内容

与えられた3つの三角関数 $y = \cos 2\theta$, $y = \sin \frac{\theta}{2}$, $y = \tan 2\theta$ のグラフを描き、それぞれの周期を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = \cos 2\theta$ の場合：

コサイン関数の基本形は $y = \cos \theta$ で、周期は $2\pi$ です。$y = \cos 2\theta$ では、$\theta$ が $2\theta$ に置き換わっているので、周期は $\frac{2\pi}{2} = \pi$ になります。グラフは、$y = \cos \theta$ のグラフを$\theta$軸方向に$\frac{1}{2}$倍に縮小したものになります。

(2) $y = \sin \frac{\theta}{2}$ の場合：

サイン関数の基本形は $y = \sin \theta$ で、周期は $2\pi$ です。$y = \sin \frac{\theta}{2}$ では、$\theta$ が $\frac{\theta}{2}$ に置き換わっているので、周期は $\frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$ になります。グラフは、$y = \sin \theta$ のグラフを$\theta$軸方向に$2$倍に拡大したものになります。

(3) $y = \tan 2\theta$ の場合：

タンジェント関数の基本形は $y = \tan \theta$ で、周期は $\pi$ です。$y = \tan 2\theta$ では、$\theta$ が $2\theta$ に置き換わっているので、周期は $\frac{\pi}{2}$ になります。グラフは、$y = \tan \theta$ のグラフを$\theta$軸方向に$\frac{1}{2}$倍に縮小したものになります。

3. 最終的な答え

(1) $y = \cos 2\theta$ の周期: $\pi$

(2) $y = \sin \frac{\theta}{2}$ の周期: $4\pi$

(3) $y = \tan 2\theta$ の周期: $\frac{\pi}{2}$

グラフについては、描画環境がないため、文章での説明にとどめます。それぞれの関数について、求めた周期を元にグラフを描いてください。