(1) $4^{100}$ を3で割ったときの余りを求める。 (2) $3^{100}$ を13で割ったときの余りを求める。 (3) $53^{47}$ の一の位を求める。 (4) $7^{150}$ の下2桁を求める。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

(1) $4^{100}$ を3で割ったときの余りを求める。

(2) $3^{100}$ を13で割ったときの余りを求める。

(3) $53^{47}$ の一の位を求める。

(4) $7^{150}$ の下2桁を求める。

2. 解き方の手順

(1) $4 \equiv 1 \pmod{3}$ なので、$4^{100} \equiv 1^{100} \equiv 1 \pmod{3}$。

(2) $3^1 \equiv 3 \pmod{13}$

$3^2 \equiv 9 \pmod{13}$

$3^3 \equiv 27 \equiv 1 \pmod{13}$

よって、$3^{100} = 3^{3 \times 33 + 1} = (3^3)^{33} \times 3^1 \equiv 1^{33} \times 3 \equiv 3 \pmod{13}$。

(3) 一の位だけに着目する。

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

$3^4 = 81$

$3^5 = 243$

よって、一の位は3, 9, 7, 1の繰り返しになる。

$47 \div 4 = 11$ あまり $3$ なので、$53^{47}$ の一の位は $3^3$ の一の位と同じで7。

(4) 下2桁を求めるということは、$\pmod{100}$ で考えるということである。

$7^1 = 07$

$7^2 = 49$

$7^3 = 343 \equiv 43 \pmod{100}$

$7^4 = 2401 \equiv 01 \pmod{100}$

$7^4 \equiv 1 \pmod{100}$

したがって、$7^{150} = 7^{4 \times 37 + 2} = (7^4)^{37} \times 7^2 \equiv 1^{37} \times 49 \equiv 49 \pmod{100}$。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 3

(3) 7

(4) 49