不定積分 $\int (2x-2)^2 dx$ を求め、$\frac{(1)}{(2)}x^3 + (3)x^2 + (4)x + C$ の形式で答えなさい。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (2x-2)^2 dx$ を求め、$\frac{(1)}{(2)}x^3 + (3)x^2 + (4)x + C$ の形式で答えなさい。

2. 解き方の手順

まず、積分する関数 $(2x-2)^2$ を展開します。

$(2x-2)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(2) + (2)^2 = 4x^2 - 8x + 4$

次に、展開した関数を積分します。

$\int (4x^2 - 8x + 4) dx = \int 4x^2 dx - \int 8x dx + \int 4 dx$

それぞれの項を積分します。

$\int 4x^2 dx = 4 \int x^2 dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{4}{3}x^3$

$\int 8x dx = 8 \int x dx = 8 \cdot \frac{x^2}{2} = 4x^2$

$\int 4 dx = 4x$

したがって、不定積分は次のようになります。

$\int (4x^2 - 8x + 4) dx = \frac{4}{3}x^3 - 4x^2 + 4x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}x^3 - 4x^2 + 4x + C$

(1) = 4

(2) = 3

(3) = -4

(4) = 4