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整式 $A = 2x^3 + 5x^2 - 1$ を整式 $B = x^2 - 1$ で割ったときの商と余りを求める問題です。

代数学多項式多項式の割り算整式
2025/3/21

1. 問題の内容

整式 A=2x3+5x2−1A = 2x^3 + 5x^2 - 1 を整式 B=x2−1B = x^2 - 1 で割ったときの商と余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

多項式の割り算を行います。
まず、2x3+5x2−12x^3 + 5x^2 - 1 を x2−1x^2 - 1 で割ると、商の最初の項は 2x2x になります。
2x(x2−1)=2x3−2x2x(x^2 - 1) = 2x^3 - 2x
したがって、
2x3+5x2−1−(2x3−2x)=5x2+2x−12x^3 + 5x^2 - 1 - (2x^3 - 2x) = 5x^2 + 2x - 1
次に、5x2+2x−15x^2 + 2x - 1 を x2−1x^2 - 1 で割ると、商の次の項は 55 になります。
5(x2−1)=5x2−55(x^2 - 1) = 5x^2 - 5
したがって、
5x2+2x−1−(5x2−5)=2x+45x^2 + 2x - 1 - (5x^2 - 5) = 2x + 4
よって、商は 2x+52x + 5 で、余りは 2x+42x + 4 です。

3. 最終的な答え

商: 2x+52x + 5
余り: 2x+42x + 4

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