与えられた問題は、次の4つの小問から構成されています。 (1) $4^{100}$ を3で割ったときの余りを求める。 (2) $3^{100}$ を13で割ったときの余りを求める。 (3) $53^{47}$ の一の位の数を求める。 (4) $7^{150}$ の下2桁の数を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の4つの小問から構成されています。

(1) $4^{100}$ を3で割ったときの余りを求める。

(2) $3^{100}$ を13で割ったときの余りを求める。

(3) $53^{47}$ の一の位の数を求める。

(4) $7^{150}$ の下2桁の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $4^{100}$ を3で割ったときの余り

$4 \equiv 1 \pmod{3}$ であるから、$4^{100} \equiv 1^{100} \pmod{3}$

したがって、$4^{100} \equiv 1 \pmod{3}$

余りは1。

(2) $3^{100}$ を13で割ったときの余り

$3^1 = 3 \pmod{13}$

$3^2 = 9 \pmod{13}$

$3^3 = 27 \equiv 1 \pmod{13}$

$3^{100} = (3^3)^{33} \cdot 3^1 \equiv 1^{33} \cdot 3 \pmod{13}$

$3^{100} \equiv 3 \pmod{13}$

余りは3。

(3) $53^{47}$ の一の位の数

一の位は3なので、3の累乗の一の位の規則性に着目する。

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

$3^4 = 81$

$3^5 = 243$

一の位は3, 9, 7, 1, 3, ...と繰り返される。周期は4。

$47 = 4 \cdot 11 + 3$

$53^{47}$ の一の位は、$3^{47}$ の一の位と同じ。

$3^{47} \equiv 3^{4 \cdot 11 + 3} \equiv (3^4)^{11} \cdot 3^3 \equiv 1^{11} \cdot 3^3 \equiv 1 \cdot 27 \equiv 7 \pmod{10}$

一の位は7。

(4) $7^{150}$ の下2桁の数

$7^1 = 07 \pmod{100}$

$7^2 = 49 \pmod{100}$

$7^3 = 343 \equiv 43 \pmod{100}$

$7^4 = 2401 \equiv 01 \pmod{100}$

$7^{150} = (7^4)^{37} \cdot 7^2 \equiv 1^{37} \cdot 49 \pmod{100}$

$7^{150} \equiv 49 \pmod{100}$

下2桁は49。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 3

(3) 7

(4) 49