与えられた2つの3次方程式、4次方程式を解き、指定された形式で答えを求めます。 (1) $x^3 + 64 = 0$ (2) $x^4 + 10x^2 + 9 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの3次方程式、4次方程式を解き、指定された形式で答えを求めます。

(1) $x^3 + 64 = 0$

(2) $x^4 + 10x^2 + 9 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 64 = 0$を解きます。

$x^3 = -64$

$x = \sqrt[3]{-64}$

$x = -4$ は与えられているので、他の解を求めます。

$x^3 + 64 = (x+4)(x^2 - 4x + 16) = 0$

$x^2 - 4x + 16 = 0$ を解きます。

解の公式より

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(16)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-48}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}i}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}i}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}i$

したがって、$x = 2 \pm 2\sqrt{3}i$

(2) $x^4 + 10x^2 + 9 = 0$を解きます。

$y = x^2$と置くと、

$y^2 + 10y + 9 = 0$

$(y+1)(y+9) = 0$

$y = -1, -9$

$x^2 = -1, -9$

$x = \pm \sqrt{-1}, \pm \sqrt{-9}$

$x = \pm i, \pm 3i$

絶対値の小さい順に並べると、$\pm i, \pm 3i$

3. 最終的な答え

(1) ア: 2, a: +, イ: 2, ウ: 3

(2) ア: 1, イ: 3