(1) $x^3 + 64 = 0$ を解け。ただし、一つの解は $x = -4$ である。 (2) $x^4 + 10x^2 + 9 = 0$ を解け。解は絶対値の小さい順に答えること。

1. 問題の内容

(1) $x^3 + 64 = 0$ を解け。ただし、一つの解は $x = -4$ である。

(2) $x^4 + 10x^2 + 9 = 0$ を解け。解は絶対値の小さい順に答えること。

2. 解き方の手順

(1)

$x^3 + 64 = x^3 + 4^3 = (x+4)(x^2 - 4x + 16) = 0$

よって、$x = -4$ または $x^2 - 4x + 16 = 0$

$x^2 - 4x + 16 = 0$ を解く。

解の公式より、$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(16)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-48}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}i}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}i$

したがって、$x = 2 + 2\sqrt{3}i$ または $x = 2 - 2\sqrt{3}i$

(2)

$x^4 + 10x^2 + 9 = 0$

$(x^2 + 1)(x^2 + 9) = 0$

$x^2 = -1$ または $x^2 = -9$

$x = \pm \sqrt{-1} = \pm i$ または $x = \pm \sqrt{-9} = \pm 3i$

絶対値の小さい順に並べると、$\pm i, \pm 3i$

3. 最終的な答え

(1) ア: 2, (a): +, イ: 2, ウ: 3

(2) ア: 1, イ: 3