与えられた方程式を解き、空欄を埋める問題です。 (1) $x^3 + 64 = 0$ の解を求め、既知の解 $x = -4$ 以外の解を $x = (ア) \pm (イ)\sqrt{(ウ)}i$ の形式で答えます。 (2) $x^4 + 10x^2 + 9 = 0$ の解を求め、$x = \pm (ア), \pm (イ)$ の形式で、絶対値の小さい順に答えます。

1. 問題の内容

与えられた方程式を解き、空欄を埋める問題です。

(1) $x^3 + 64 = 0$ の解を求め、既知の解 $x = -4$ 以外の解を $x = (ア) \pm (イ)\sqrt{(ウ)}i$ の形式で答えます。

(2) $x^4 + 10x^2 + 9 = 0$ の解を求め、$x = \pm (ア), \pm (イ)$ の形式で、絶対値の小さい順に答えます。

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 64 = 0$ を解きます。

$x^3 = -64$

$x^3 + 4^3 = 0$

$(x + 4)(x^2 - 4x + 16) = 0$

$x = -4$ または $x^2 - 4x + 16 = 0$

二次方程式 $x^2 - 4x + 16 = 0$ を解の公式を用いて解きます。

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(16)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-48}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}i}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}i}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}i$

よって、アは2、イは2、ウは3となります。

(2) $x^4 + 10x^2 + 9 = 0$ を解きます。

$y = x^2$ とおくと、$y^2 + 10y + 9 = 0$

$(y + 1)(y + 9) = 0$

$y = -1$ または $y = -9$

$x^2 = -1$ または $x^2 = -9$

$x = \pm \sqrt{-1} = \pm i$ または $x = \pm \sqrt{-9} = \pm 3i$

絶対値の小さい順に並べると、$\pm i, \pm 3i$となります。

よって、アは1、イは3となります。

3. 最終的な答え

(1) ア: 2, イ: 2, ウ: 3

(2) ア: 1, イ: 3