与えられた対数方程式 $\log_2(x+2) = \log_2(x^2-3x-10)$ を解き、$x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式 $\log_2(x+2) = \log_2(x^2-3x-10)$ を解き、$x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の真数部分が等しいことから、以下の方程式が得られます。

$x+2 = x^2-3x-10$

この方程式を整理して、$x$ についての二次方程式にします。

$0 = x^2-4x-12$

次に、二次方程式を因数分解します。

$0 = (x-6)(x+2)$

よって、$x=6$ または $x=-2$ が得られます。

対数関数において、真数は正でなければなりません。したがって、与えられた方程式の真数条件を確認する必要があります。

$x+2 > 0$ より、$x > -2$

$x^2-3x-10 > 0$ より、 $(x-5)(x+2) > 0$ 。したがって、$x > 5$ または $x < -2$ 。

上記の真数条件を満たす解を検討します。

$x=6$ の場合、$x+2=8 > 0$ かつ $x^2-3x-10 = 36 - 18 - 10 = 8 > 0$ なので、条件を満たします。

$x=-2$ の場合、$x+2=0$ となり、$x+2>0$ を満たさないため、$x=-2$ は解ではありません。

3. 最終的な答え

したがって、方程式の解は $x=6$ です。