与えられた不定積分を計算し、空欄を埋める問題です。 (1) $\int (3x^2+8x-1) dx = x^3 (a) (ア) x^2 (b) x + C$ (2) $\int (2x-3)^2 dx = \frac{(ア)}{(イ)} x^3 (c) (ウ) x^2 (d) (エ) x + C$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算し、空欄を埋める問題です。

(1) $\int (3x^2+8x-1) dx = x^3 (a) (ア) x^2 (b) x + C$

(2) $\int (2x-3)^2 dx = \frac{(ア)}{(イ)} x^3 (c) (ウ) x^2 (d) (エ) x + C$

2. 解き方の手順

(1)

不定積分の定義に従って計算します。

$\int (3x^2+8x-1) dx = 3 \int x^2 dx + 8 \int x dx - \int 1 dx$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$

$\int 1 dx = x$

よって、

$\int (3x^2+8x-1) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 8 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^3 + 4x^2 - x + C$

(a) の場所は $x^3$ の係数なので 1 です。

(ア) の場所は $x^2$ の係数なので 4 です。

(b) の場所は $x$ の係数なので -1 です。

(2)

まず、積分の中身を展開します。

$(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$

よって、

$\int (2x-3)^2 dx = \int (4x^2 - 12x + 9) dx = 4 \int x^2 dx - 12 \int x dx + 9 \int 1 dx$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$

$\int 1 dx = x$

よって、

$\int (4x^2 - 12x + 9) dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} - 12 \cdot \frac{x^2}{2} + 9x + C = \frac{4}{3}x^3 - 6x^2 + 9x + C$

(ア) の場所は $x^3$ の係数の分子なので 4 です。

(イ) の場所は $x^3$ の係数の分母なので 3 です。

(c) の場所は $x^3$ の係数を取り除いた後の符号なので - です。

(ウ) の場所は $x^2$ の係数なので 6 です。

(d) の場所は $x^2$ の係数を取り除いた後の符号なので + です。

(エ) の場所は $x$ の係数なので 9 です。

3. 最終的な答え

(1) (a) = 1, (ア) = 4, (b) = -1

$\int (3x^2+8x-1) dx = x^3 + 4x^2 - x + C$

(2) (ア) = 4, (イ) = 3, (c) = -, (ウ) = 6, (d) = +, (エ) = 9

$\int (2x-3)^2 dx = \frac{4}{3} x^3 - 6x^2 + 9x + C$