2重積分 $\iint_D x \, dxdy$ の値を求めます。積分領域 $D$ は $0 \le x^2 + y^2 \le 2y$ で定義されています。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_D x \, dxdy$ の値を求めます。積分領域 $D$ は $0 \le x^2 + y^2 \le 2y$ で定義されています。

2. 解き方の手順

積分領域 $D$ を見ると、$x^2 + y^2 \le 2y$ より $x^2 + (y-1)^2 \le 1$ となり、これは中心 $(0, 1)$、半径1の円を表しています。原点を含み、円周が原点を通るような円です。そこで、極座標変換を行うことを考えます。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

とすると、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、積分領域の条件は $0 \le r^2 \le 2r\sin\theta$ となります。

したがって、$0 \le r \le 2\sin\theta$ となります。

また、$x^2 + (y-1)^2 \le 1$ の円は $x$ 軸に関して対称であることより、$0 \le \theta \le \pi$ となります。

ヤコビアンは $r$ であるから、

$\iint_D x \, dxdy = \int_0^{\pi} \int_0^{2\sin\theta} (r\cos\theta)r \, drd\theta = \int_0^{\pi} \int_0^{2\sin\theta} r^2\cos\theta \, drd\theta$

内側の積分を実行します。

$\int_0^{2\sin\theta} r^2\cos\theta \, dr = \cos\theta \left[\frac{1}{3}r^3\right]_0^{2\sin\theta} = \frac{8}{3}\cos\theta \sin^3\theta$

外側の積分を実行します。

$\int_0^{\pi} \frac{8}{3}\cos\theta \sin^3\theta \, d\theta = \frac{8}{3}\int_0^{\pi} \cos\theta \sin^3\theta \, d\theta$

$u = \sin\theta$ とすると、$du = \cos\theta \, d\theta$ となり、$\theta = 0$ のとき $u = 0$、$\theta = \pi$ のとき $u = 0$ であるため、

$\frac{8}{3}\int_0^0 u^3 \, du = 0$

3. 最終的な答え

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