底面の半径が $a$ 、高さも $a$ である直円柱がある。この直円柱の底面の直径ABを含み、底面と45°の傾きをなす平面で直円柱を2つの立体に分けるとき、小さい方の立体の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

底面の半径が $a$ 、高さも $a$ である直円柱がある。この直円柱の底面の直径ABを含み、底面と45°の傾きをなす平面で直円柱を2つの立体に分けるとき、小さい方の立体の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、底面の中心を原点Oとし、直径ABをx軸とする。

このとき、小さい方の立体の体積$V$は、積分を用いて求めることができる。

$V = \int_{-a}^{a} \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot a \cdot \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \cdot a \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} dx$

$V = a \int_{-a}^{a} a \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} dx$

$V = a^2 \int_{-a}^{a} \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} dx$

$V = a^2 \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}} dx$

$V = \int_{-a}^{a} a\sqrt{a^2 - x^2} dx$

$x = a \sin{\theta}$と置換すると、$dx = a \cos{\theta} d\theta$となり、$x:-a \to a$の時、$\theta : -\frac{\pi}{2} \to \frac{\pi}{2}$となるので、

$V = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a \sqrt{a^2 - (a \sin{\theta})^2} \cdot a \cos{\theta} d\theta$

$V = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a \sqrt{a^2 (1 - \sin^2{\theta})} \cdot a \cos{\theta} d\theta$

$V = a \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a \cdot a \cos{\theta} \cdot a \cos{\theta} d\theta$

$V = a^3 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2{\theta} d\theta$

$\cos^2{\theta} = \frac{1 + \cos{2\theta}}{2}$を用いると、

$V = a^3 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos{2\theta}}{2} d\theta$

$V = \frac{a^3}{2} \left[\theta + \frac{1}{2} \sin{2\theta} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$

$V = \frac{a^3}{2} \left[ (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin{\pi}) - (-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin{(-\pi)}) \right]$

$V = \frac{a^3}{2} (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2})$

$V = \frac{\pi a^3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi a^3}{2}$