2次関数 $y=3x^2+2x-1$ のグラフは下に凸である。このとき、$3x^2+2x-1>0$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y=3x^2+2x-1$ のグラフは下に凸である。このとき、$3x^2+2x-1>0$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $3x^2+2x-1 > 0$ を解く。

まず、2次方程式 $3x^2+2x-1 = 0$ の解を求める。

$3x^2+2x-1 = 0$ は因数分解できる。

$(3x-1)(x+1) = 0$

よって、$x = \frac{1}{3}$ または $x = -1$ である。

下に凸な2次関数 $y=3x^2+2x-1$ は $x = -1$ と $x = \frac{1}{3}$ で $x$ 軸と交わる。

したがって、不等式 $3x^2+2x-1 > 0$ を満たす $x$ の範囲は $x < -1$ または $x > \frac{1}{3}$ である。

3. 最終的な答え

$x<-1, \frac{1}{3}<x$