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2次関数 $y=3x^2+2x-1$ のグラフは下に凸である。このとき、$3x^2+2x-1>0$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

代数学二次関数二次不等式因数分解グラフ
2025/3/21

1. 問題の内容

2次関数 y=3x2+2x−1y=3x^2+2x-1 のグラフは下に凸である。このとき、3x2+2x−1>03x^2+2x-1>0 を満たす xx の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 3x2+2x−1>03x^2+2x-1 > 0 を解く。
まず、2次方程式 3x2+2x−1=03x^2+2x-1 = 0 の解を求める。
3x2+2x−1=03x^2+2x-1 = 0 は因数分解できる。
(3x−1)(x+1)=0(3x-1)(x+1) = 0
よって、x=13x = \frac{1}{3} または x=−1x = -1 である。
下に凸な2次関数 y=3x2+2x−1y=3x^2+2x-1 は x=−1x = -1 と x=13x = \frac{1}{3} で xx 軸と交わる。
したがって、不等式 3x2+2x−1>03x^2+2x-1 > 0 を満たす xx の範囲は x<−1x < -1 または x>13x > \frac{1}{3} である。

3. 最終的な答え

x<−1,13<xx<-1, \frac{1}{3}<x

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