数列の和 $S_n$ が $S_n = n^3 - n$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。$a_n = (1)n^2 (a) (2)n$ の形式で答えます。

1. 問題の内容

数列の和 $S_n$ が $S_n = n^3 - n$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。$a_n = (1)n^2 (a) (2)n$ の形式で答えます。

2. 解き方の手順

まず、$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立ちます。

$S_n = n^3 - n$ なので、$S_{n-1} = (n-1)^3 - (n-1)$ です。

$a_n = (n^3 - n) - ((n-1)^3 - (n-1))$

$= n^3 - n - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 - n + 1)$

$= n^3 - n - (n^3 - 3n^2 + 2n)$

$= 3n^2 - 3n$

$n=1$のとき、$a_1 = S_1 = 1^3 - 1 = 0$

ここで、求めた$a_n$の式 $3n^2 - 3n$ に $n=1$ を代入すると、

$3(1)^2 - 3(1) = 3 - 3 = 0$

となるため、$a_n = 3n^2 - 3n$は全ての自然数nで成立します。

したがって、$a_n = 3n^2 - 3n = 3n^2 + (-3)n$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 3n^2 - 3n$

(1) = 3

(a) = -

(2) = 3