二次不等式 $-3x^2 + 2x + 1 > 0$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

二次不等式 $-3x^2 + 2x + 1 > 0$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、二次不等式の両辺に $-1$ をかけて、$x^2$ の係数を正にします。不等号の向きが変わることに注意してください。

$3x^2 - 2x - 1 < 0$

次に、二次式を因数分解します。

$3x^2 - 2x - 1 = (3x + 1)(x - 1)$

したがって、不等式は次のようになります。

$(3x + 1)(x - 1) < 0$

この不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。$3x + 1 = 0$ となるのは $x = -\frac{1}{3}$、$x - 1 = 0$ となるのは $x = 1$ です。数直線上でこれらの値を考慮して、不等式が成り立つ範囲を調べます。

$x < -\frac{1}{3}$ のとき、$3x + 1 < 0$ かつ $x - 1 < 0$ なので、$(3x + 1)(x - 1) > 0$ となり、不等式を満たしません。

$-\frac{1}{3} < x < 1$ のとき、$3x + 1 > 0$ かつ $x - 1 < 0$ なので、$(3x + 1)(x - 1) < 0$ となり、不等式を満たします。

$x > 1$ のとき、$3x + 1 > 0$ かつ $x - 1 > 0$ なので、$(3x + 1)(x - 1) > 0$ となり、不等式を満たしません。

したがって、不等式 $(3x + 1)(x - 1) < 0$ を満たす $x$ の範囲は $-\frac{1}{3} < x < 1$ です。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3} < x < 1$