(1) 初項 $a_1 = -4$、漸化式 $a_{n+1} = a_n - 3$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。 (2) 初項 $a_1 = 3$、漸化式 $a_{n+1} = \sqrt{3} a_n$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

(1) 初項 $a_1 = -4$、漸化式 $a_{n+1} = a_n - 3$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

(2) 初項 $a_1 = 3$、漸化式 $a_{n+1} = \sqrt{3} a_n$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) 漸化式 $a_{n+1} = a_n - 3$ は、公差が $-3$ の等差数列を表している。等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で求められる。ここで、$a_1 = -4$、 $d = -3$ である。

$a_n = -4 + (n-1)(-3)$

$a_n = -4 - 3n + 3$

$a_n = -3n - 1$

(2) 漸化式 $a_{n+1} = \sqrt{3} a_n$ は、公比が $\sqrt{3}$ の等比数列を表している。等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で求められる。ここで、$a_1 = 3$、 $r = \sqrt{3}$ である。

$a_n = 3 (\sqrt{3})^{n-1}$

$a_n = (\sqrt{3})^2 (\sqrt{3})^{n-1}$

$a_n = (\sqrt{3})^{n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = -3n - 1$

(2) $a_n = (\sqrt{3})^{n+1}$