2次関数 $y = x^2 + x - 6$ のグラフが下に凸であるとき、$x^2 + x - 6 \leq 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + x - 6$ のグラフが下に凸であるとき、$x^2 + x - 6 \leq 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、2次不等式 $x^2 + x - 6 \leq 0$ の左辺を因数分解する。

$x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$

したがって、不等式は

$(x+3)(x-2) \leq 0$

となる。

この不等式を満たす $x$ の範囲を求める。2次関数のグラフが下に凸であること、つまり $x^2$ の係数が正であることから、$(x+3)(x-2) \leq 0$ となるのは、$x+3$ と $x-2$ が異符号であるときである。すなわち、$x+3 \geq 0$ かつ $x-2 \leq 0$ 、または、$x+3 \leq 0$ かつ $x-2 \geq 0$ であるときである。

* $x+3 \geq 0$ かつ $x-2 \leq 0$ のとき、$x \geq -3$ かつ $x \leq 2$ であるから、$-3 \leq x \leq 2$。

* $x+3 \leq 0$ かつ $x-2 \geq 0$ のとき、$x \leq -3$ かつ $x \geq 2$ であるが、これを満たす $x$ は存在しない。

よって、$x^2 + x - 6 \leq 0$ を満たす $x$ の範囲は $-3 \leq x \leq 2$ である。

3. 最終的な答え

$-3 \leq x \leq 2$