(1) $f(\theta) = 5\sin^2\theta + 11\cos^2\theta - 12\sin\theta\cos\theta$ を $\sin2\theta$ と $\cos2\theta$ を用いて表し、$f(\theta)$ の最大値を求める。 (2) 方程式 $4^x - 3\cdot2^{x+2} + 32 = 0$ の解を求める。 (3) 不等式 $\log_2(3x^2 - 8x + 4) > \log_2(x^2 + 2x - 8)$ の解を求める。

以下に、画像の問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(1) $f(\theta) = 5\sin^2\theta + 11\cos^2\theta - 12\sin\theta\cos\theta$ を $\sin2\theta$ と $\cos2\theta$ を用いて表し、$f(\theta)$ の最大値を求める。

(2) 方程式 $4^x - 3\cdot2^{x+2} + 32 = 0$ の解を求める。

(3) 不等式 $\log_2(3x^2 - 8x + 4) > \log_2(x^2 + 2x - 8)$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(\theta)$ を変形する。

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos2\theta}{2}$

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos2\theta}{2}$

$\sin\theta\cos\theta = \frac{\sin2\theta}{2}$

これらを $f(\theta)$ に代入すると、

$f(\theta) = 5\left(\frac{1 - \cos2\theta}{2}\right) + 11\left(\frac{1 + \cos2\theta}{2}\right) - 12\left(\frac{\sin2\theta}{2}\right)$

$f(\theta) = \frac{5 - 5\cos2\theta}{2} + \frac{11 + 11\cos2\theta}{2} - 6\sin2\theta$

$f(\theta) = \frac{16 + 6\cos2\theta}{2} - 6\sin2\theta$

$f(\theta) = 8 + 3\cos2\theta - 6\sin2\theta$

$f(\theta) = -6\sin2\theta + 3\cos2\theta + 8$

次に、$f(\theta)$ の最大値を求める。

$f(\theta) = -6\sin2\theta + 3\cos2\theta + 8$

$f(\theta) = \sqrt{(-6)^2 + 3^2}\sin(2\theta + \alpha) + 8$ （ただし、$\alpha$ はある定数）

$f(\theta) = \sqrt{36 + 9}\sin(2\theta + \alpha) + 8$

$f(\theta) = \sqrt{45}\sin(2\theta + \alpha) + 8$

$f(\theta) = 3\sqrt{5}\sin(2\theta + \alpha) + 8$

したがって、$f(\theta)$ の最大値は、$3\sqrt{5} + 8$

(2)

$4^x - 3\cdot2^{x+2} + 32 = 0$

$(2^x)^2 - 3\cdot2^2\cdot2^x + 32 = 0$

$(2^x)^2 - 12\cdot2^x + 32 = 0$

$y = 2^x$ とすると、

$y^2 - 12y + 32 = 0$

$(y - 4)(y - 8) = 0$

$y = 4, 8$

$2^x = 4, 8$

$2^x = 2^2, 2^3$

$x = 2, 3$

よって、$x = 2, 3$

(3)

$\log_2(3x^2 - 8x + 4) > \log_2(x^2 + 2x - 8)$

真数条件より、$3x^2 - 8x + 4 > 0$ かつ $x^2 + 2x - 8 > 0$。

$3x^2 - 8x + 4 = (3x - 2)(x - 2) > 0$ より、$x < \frac{2}{3}$ または $x > 2$。

$x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2) > 0$ より、$x < -4$ または $x > 2$。

したがって、真数条件を満たす範囲は、$x < -4$ または $x > 2$。

$\log_2(3x^2 - 8x + 4) > \log_2(x^2 + 2x - 8)$ より、$3x^2 - 8x + 4 > x^2 + 2x - 8$。

$2x^2 - 10x + 12 > 0$

$x^2 - 5x + 6 > 0$

$(x - 2)(x - 3) > 0$

$x < 2$ または $x > 3$。

真数条件と合わせて、解は $x < -4$ または $x > 3$。

3. 最終的な答え

(1) 1: -6, 2: 3, 3: 3, 4: 8, 5: 3, 6: 5, 7: 8

(2) 8: 2, 9: 3

(3) 10: -4, 11:, 12: 3