与えられた2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ (2) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - 4}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - 4}$

2. 解き方の手順

(1)

分子を因数分解します。

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

与式は

$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3}$

$x \neq 3$ のとき、$\frac{x - 3}{x - 3} = 1$ なので

$\lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6$

(2)

分子と分母をそれぞれ因数分解します。

$x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

与式は

$\lim_{x \to 2} \frac{(x + 4)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

$x \neq 2$ のとき、$\frac{x - 2}{x - 2} = 1$ なので

$\lim_{x \to 2} \frac{x + 4}{x + 2} = \frac{2 + 4}{2 + 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) $\frac{3}{2}$