「2は10を割り切る」ということを、割り切るという記号を用いて表現する。割り切る記号として "|" を使用する。

## 回答

### 問1

1. **問題の内容**

「2は10を割り切る」ということを、割り切るという記号を用いて表現する。割り切る記号として "|" を使用する。

2. **解き方の手順**

「aはbを割り切る」は $a|b$ と表される。この記号を用いて、2は10を割り切ることを表現する。

3. **最終的な答え**

$2|10$

### 問2

1. **問題の内容**

以下の命題を「割り切る」という言葉を用いて表現する。

1. $a | b$ かつ $a | c$ ならば $a | (b \pm c)$

2. $a | b$ ならば $a | (bc)$

3. $a | b$ かつ $b | c$ ならば $a | c$

4. $a | b$ ならば $(-a) | b$

5. $a | b$ かつ $b | a$ ならば $a = \pm b$

2. **解き方の手順**

各命題を「割り切る」という言葉で表現する。

3. **最終的な答え**

1. 「aがbを割り切り、かつaがcを割り切るならば、aはb+cとb-cを割り切る」

2. 「aがbを割り切るならば、aはbcを割り切る」

3. 「aがbを割り切り、かつbがcを割り切るならば、aはcを割り切る」

4. 「aがbを割り切るならば、-aはbを割り切る」

5. 「aがbを割り切り、かつbがaを割り切るならば、aはbまたは-bに等しい」

### 問3

1. **問題の内容**

ユークリッドの互除法を用いて、2025と459の最大公約数 $g = gcd(2025, 459)$ を求める。

2. **解き方の手順**

ユークリッドの互除法を用いて、2025と459の最大公約数を求める。

* $2025 = 4 \times 459 + 189$

* $459 = 2 \times 189 + 81$

* $189 = 2 \times 81 + 27$

* $81 = 3 \times 27 + 0$

したがって、最大公約数は27。

3. **最終的な答え**

$g = 27$

4. **問題の内容**

2025と459の公約数をすべて求める。

5. **解き方の手順**

2つの数の公約数は、それらの最大公約数の約数である。最大公約数は27なので、27の約数をすべて求める。

$27 = 3^3$ であるから、27の約数は1, 3, 9, 27。

6. **最終的な答え**

1, 3, 9, 27

7. **問題の内容**

$\frac{2025}{459}$ の連分数展開を求める。

8. **解き方の手順**

ユークリッドの互除法の計算過程から連分数展開を求める。

* $\frac{2025}{459} = 4 + \frac{189}{459} = 4 + \frac{1}{\frac{459}{189}}$

* $\frac{459}{189} = 2 + \frac{81}{189} = 2 + \frac{1}{\frac{189}{81}}$

* $\frac{189}{81} = 2 + \frac{27}{81} = 2 + \frac{1}{\frac{81}{27}}$

* $\frac{81}{27} = 3$

したがって、$\frac{2025}{459} = 4 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3}}}$

9. **最終的な答え**

$[4; 2, 2, 3]$

1

0. **問題の内容**

$2025x + 459y = g$ となる整数 $x, y$ を1組求める。ただし、$g = 27$。

1

1. **解き方の手順**

ユークリッドの互除法の逆順をたどる。

* $27 = 189 - 2 \times 81$

* $81 = 459 - 2 \times 189$

* $27 = 189 - 2(459 - 2 \times 189) = 5 \times 189 - 2 \times 459$

* $189 = 2025 - 4 \times 459$

* $27 = 5(2025 - 4 \times 459) - 2 \times 459 = 5 \times 2025 - 22 \times 459$

したがって、$x = 5, y = -22$

1

2. **最終的な答え**

$(x, y) = (5, -22)$

### 問4

1. **問題の内容**

$35x + 48y = 1$ を満たす整数 $x, y$ をすべて求める。

2. **解き方の手順**

まず、特殊解を求める。拡張されたユークリッドの互除法を用いる。

* $48 = 1 \times 35 + 13$

* $35 = 2 \times 13 + 9$

* $13 = 1 \times 9 + 4$

* $9 = 2 \times 4 + 1$

逆順にたどる。

* $1 = 9 - 2 \times 4 = 9 - 2 \times (13 - 9) = 3 \times 9 - 2 \times 13$

* $1 = 3 \times (35 - 2 \times 13) - 2 \times 13 = 3 \times 35 - 8 \times 13$

* $1 = 3 \times 35 - 8 \times (48 - 35) = 11 \times 35 - 8 \times 48$

したがって、特殊解は $(x_0, y_0) = (11, -8)$。

一般解は $x = x_0 + \frac{48}{1}k = 11 + 48k$ および $y = y_0 - \frac{35}{1}k = -8 - 35k$ (kは整数)。

3. **最終的な答え**

$(x, y) = (11 + 48k, -8 - 35k)$ （$k$ は任意の整数）

4. **問題の内容**

$35x + 49y = 1$ を満たす整数 $x, y$ をすべて求める。

5. **解き方の手順**

$gcd(35, 49) = 7$ である。したがって、$35x + 49y$ は必ず7の倍数になる。

したがって、$35x + 49y = 1$ を満たす整数解は存在しない。

6. **最終的な答え**

解なし。

### 問5

1. **問題の内容**

$ab = gcd(a, b) \times lcm(a, b)$ が $a = 24, b = 15$ に関して成り立つことを確認する。

2. **解き方の手順**

$a = 24 = 2^3 \times 3$ および $b = 15 = 3 \times 5$。

* $gcd(24, 15) = 3$

* $lcm(24, 15) = 2^3 \times 3 \times 5 = 120$

* $gcd(24, 15) \times lcm(24, 15) = 3 \times 120 = 360$

* $ab = 24 \times 15 = 360$

したがって、$ab = gcd(a, b) \times lcm(a, b)$ が成り立つ。

3. **最終的な答え**

$24 \times 15 = 360 = gcd(24, 15) \times lcm(24, 15) = 3 \times 120 = 360$ より、成り立つ。