ある工場で製品XとYを製造しています。製品XとYを製造するためには、原料aと原料bが必要です。X, Yを1kg製造するために必要な原料の量と原料の在庫量が与えられています。X, Y 1kg当たりの利益はそれぞれ1万円、2万円です。原材料の在庫量の範囲で、最大の利益を得るには、X, Yをそれぞれ何kg製造すればよいかを求める問題です。

1. 問題の内容

ある工場で製品XとYを製造しています。製品XとYを製造するためには、原料aと原料bが必要です。X, Yを1kg製造するために必要な原料の量と原料の在庫量が与えられています。X, Y 1kg当たりの利益はそれぞれ1万円、2万円です。原材料の在庫量の範囲で、最大の利益を得るには、X, Yをそれぞれ何kg製造すればよいかを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は線形計画法を用いて解くことができます。

Xの製造量をx (kg)、Yの製造量をy (kg) とします。

目的関数（利益）を最大化します：

$z = x + 2y$

制約条件は以下のようになります。

原料aの制約：$10x + 30y \le 300$

原料bの制約：$20x + 20y \le 400$

$x \ge 0$

$y \ge 0$

制約条件を簡略化します。

$x + 3y \le 30$ (1)

$x + y \le 20$ (2)

(1)と(2)の交点を求めます。

$x + 3y = 30$

$x + y = 20$

(1)-(2)より、

$2y = 10$

$y = 5$

$x = 20 - y = 20 - 5 = 15$

交点は (15, 5)

制約条件を満たす領域の端点を調べ、それぞれの端点での目的関数の値を計算します。

端点は (0, 0), (20, 0), (0, 10), (15, 5) です。

(0, 0): $z = 0 + 2(0) = 0$

(20, 0): $z = 20 + 2(0) = 20$

(0, 10): $z = 0 + 2(10) = 20$

(15, 5): $z = 15 + 2(5) = 15 + 10 = 25$

zの値が最大になるのは(x, y) = (15, 5)のときです。

3. 最終的な答え

Xを15kg、Yを5kg製造すれば、最大の利益が得られます。