実数 $a, b$ に関する次の2つの命題の真偽を調べ、真であれば証明し、偽であれば反例を挙げよ。 (1) $a, b$ がともに無理数ならば、$a+b$ は無理数である。 (2) $a, b$ がともに無理数ならば、$a+b, a-b$ の少なくとも一方は無理数である。

1. 問題の内容

実数 $a, b$ に関する次の2つの命題の真偽を調べ、真であれば証明し、偽であれば反例を挙げよ。

(1) $a, b$ がともに無理数ならば、$a+b$ は無理数である。

(2) $a, b$ がともに無理数ならば、$a+b, a-b$ の少なくとも一方は無理数である。

2. 解き方の手順

(1) 命題「$a, b$ がともに無理数ならば、$a+b$ は無理数である」の真偽を調べる。

反例を挙げることができるかどうか検討する。$a = \sqrt{2}$, $b = -\sqrt{2}$ とすると、$a$ と $b$ はともに無理数であるが、$a+b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ は有理数である。よって、この命題は偽である。

(2) 命題「$a, b$ がともに無理数ならば、$a+b, a-b$ の少なくとも一方は無理数である」の真偽を調べる。

対偶を考えると、「$a, b$ がともに無理数であるとき、$a+b$ と $a-b$ がともに有理数ならば偽である」となる。

$a+b = p$, $a-b = q$ とおく。ここで、$p, q$ は有理数である。

このとき、$a = \frac{p+q}{2}$、$b = \frac{p-q}{2}$ である。

$p$ と $q$ は有理数なので、$p+q$ と $p-q$ も有理数である。

有理数を2で割ったものも有理数であるから、$a$ と $b$ は有理数となる。

したがって、$a, b$ がともに無理数ならば、$a+b, a-b$ の少なくとも一方は無理数である。この命題は真である。

3. 最終的な答え

(1) 偽。反例：$a = \sqrt{2}, b = -\sqrt{2}$

(2) 真。証明：$a, b$ が無理数であるとき、$a+b$ と $a-b$ がともに有理数であると仮定すると、$a = \frac{(a+b)+(a-b)}{2}$ と $b = \frac{(a+b)-(a-b)}{2}$ はともに有理数になる。これは $a, b$ が無理数であることに矛盾する。したがって、$a, b$ が無理数ならば、$a+b$ と $a-b$ の少なくとも一方は無理数である。