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与えられた連立一次方程式を解きます。 $\begin{cases} x + 5y + z = -6 &(1)\\ 3x - y + z = 8 &(2)\\ 2x + y + 4z = -3 &(3) \end{cases}$

代数学連立一次方程式線形代数方程式
2025/3/21

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解きます。
{x+5y+z=−6(1)3x−y+z=8(2)2x+y+4z=−3(3)\begin{cases} x + 5y + z = -6 &(1)\\ 3x - y + z = 8 &(2)\\ 2x + y + 4z = -3 &(3) \end{cases}

2. 解き方の手順

(2) - (1) より、
(3x−y+z)−(x+5y+z)=8−(−6)(3x - y + z) - (x + 5y + z) = 8 - (-6)
2x−6y=142x - 6y = 14
x−3y=7x - 3y = 7 ...(4)
(3) - (1) x 4より、
(2x+y+4z)−4(x+5y+z)=−3−4(−6)(2x + y + 4z) - 4(x + 5y + z) = -3 - 4(-6)
2x+y+4z−4x−20y−4z=−3+242x + y + 4z - 4x - 20y - 4z = -3 + 24
−2x−19y=21-2x - 19y = 21 ...(5)
(4) x 2 + (5)より、
2(x−3y)+(−2x−19y)=2(7)+212(x - 3y) + (-2x - 19y) = 2(7) + 21
2x−6y−2x−19y=14+212x - 6y - 2x - 19y = 14 + 21
−25y=35-25y = 35
y=−3525=−75y = -\frac{35}{25} = -\frac{7}{5}
(4)に代入して、
x−3(−75)=7x - 3(-\frac{7}{5}) = 7
x+215=7x + \frac{21}{5} = 7
x=7−215=35−215=145x = 7 - \frac{21}{5} = \frac{35 - 21}{5} = \frac{14}{5}
(1)に代入して、
145+5(−75)+z=−6\frac{14}{5} + 5(-\frac{7}{5}) + z = -6
145−355+z=−6\frac{14}{5} - \frac{35}{5} + z = -6
−215+z=−6-\frac{21}{5} + z = -6
z=−6+215=−30+215=−95z = -6 + \frac{21}{5} = \frac{-30 + 21}{5} = -\frac{9}{5}

3. 最終的な答え

x=145,y=−75,z=−95x = \frac{14}{5}, y = -\frac{7}{5}, z = -\frac{9}{5}

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