$a+b = 4$、 $ab = \frac{7}{2}$ のとき、$a^3 + b^3$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a+b = 4$、 $ab = \frac{7}{2}$ のとき、$a^3 + b^3$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$a^3 + b^3$ を $(a+b)$ と $ab$ で表すことを考えます。

$a^3 + b^3$ を因数分解すると、

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

となります。

ここで、$a^2 + b^2$ を $(a+b)$ と $ab$ で表します。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ より、

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$

したがって、

$a^3 + b^3 = (a+b)((a+b)^2 - 2ab - ab) = (a+b)((a+b)^2 - 3ab)$

となります。

$a+b = 4$、 $ab = \frac{7}{2}$ を代入して、

$a^3 + b^3 = (4)(4^2 - 3 \cdot \frac{7}{2}) = 4(16 - \frac{21}{2}) = 4(\frac{32-21}{2}) = 4(\frac{11}{2}) = 22$

3. 最終的な答え

22