$x = a + \frac{1}{a}$ および $y = a - \frac{1}{a}$ のとき、$x^3 - y^3$ を $a$ を用いて表しなさい。

1. 問題の内容

$x = a + \frac{1}{a}$ および $y = a - \frac{1}{a}$ のとき、$x^3 - y^3$ を $a$ を用いて表しなさい。

2. 解き方の手順

$x^3 - y^3$ を因数分解すると、

$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$

または

$x^3 - y^3 = (x-y)^3 + 3xy(x-y)$

となります。

まず、$x - y$ を計算します。

$x - y = (a + \frac{1}{a}) - (a - \frac{1}{a}) = a + \frac{1}{a} - a + \frac{1}{a} = \frac{2}{a}$

次に、$xy$ を計算します。

$xy = (a + \frac{1}{a})(a - \frac{1}{a}) = a^2 - \frac{1}{a^2}$

次に、2番目の式に代入します。

$x^3 - y^3 = (x-y)^3 + 3xy(x-y) = (\frac{2}{a})^3 + 3(a^2 - \frac{1}{a^2})(\frac{2}{a})$

$= \frac{8}{a^3} + \frac{6}{a}(a^2 - \frac{1}{a^2}) = \frac{8}{a^3} + 6a - \frac{6}{a^3} = 6a + \frac{2}{a^3}$

3. 最終的な答え

$6a + \frac{2}{a^3}$