ある2桁の整数$X$について、以下の情報が与えられている。 * $X$を9で割ると1余る。 * $X$を11で割ると2余る。 このとき、$X$を13で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

ある2桁の整数$X$について、以下の情報が与えられている。

* $X$を9で割ると1余る。

* $X$を11で割ると2余る。

このとき、$X$を13で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$X$は9で割ると1余るので、$X = 9a + 1$ (aは整数) と表せる。

また、$X$は11で割ると2余るので、$X = 11b + 2$ (bは整数) と表せる。

したがって、$9a + 1 = 11b + 2$ である。これを変形すると、

$9a = 11b + 1$

$9a - 11b = 1$

この不定方程式を解く。

$9a - 11b = 1$

$9a = 11b + 1$

$b = (9a - 1) / 11$

$a = 5$ のとき $b = (9*5 - 1) / 11 = 44/11 = 4$ なので、一つの解として $a = 5, b = 4$ が得られる。

よって、$X = 9(5) + 1 = 46$ または $X = 11(4) + 2 = 46$ である。

一般解は、$9(a - 5) - 11(b - 4) = 0$ より $9(a - 5) = 11(b - 4)$

9と11は互いに素なので、$a - 5 = 11k, b - 4 = 9k$ (kは整数)

$a = 11k + 5, b = 9k + 4$

$X = 9(11k + 5) + 1 = 99k + 45 + 1 = 99k + 46$

$X = 11(9k + 4) + 2 = 99k + 44 + 2 = 99k + 46$

$X$は2桁の整数なので、$k=0$のとき $X=46$。

$k=1$のとき $X=145$ (2桁ではないので不適)

したがって、$X = 46$

$X = 46$ を13で割ると、$46 = 13 \times 3 + 7$

余りは7

3. 最終的な答え

7