空間内の2点を通る直線の方程式とパラメータ表示を求める問題です。3つの異なる点の組に対して、それぞれ直線の方程式とパラメータ表示を求める必要があります。

1. 問題の内容

空間内の2点を通る直線の方程式とパラメータ表示を求める問題です。3つの異なる点の組に対して、それぞれ直線の方程式とパラメータ表示を求める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(1, 2, 3)$ と $(-1, 2, 6)$ を通る直線

まず、方向ベクトルを計算します。方向ベクトル $\vec{v}$ は、2点の座標の差で求められます。

$\vec{v} = (-1 - 1, 2 - 2, 6 - 3) = (-2, 0, 3)$

パラメータ表示は、点 $(1, 2, 3)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (-2, 0, 3)$ を持つ直線として表されます。

$x = 1 - 2t$

$y = 2 + 0t = 2$

$z = 3 + 3t$

直線の方程式は、パラメータ $t$ を消去することで求められます。

$t = \frac{1-x}{2} = \frac{z-3}{3}$

よって、 $\frac{1-x}{2} = \frac{z-3}{3}$, $y=2$ となります。

(2) 点 $(3, 2, 3)$ と $(-4, 4, 7)$ を通る直線

方向ベクトルを計算します。

$\vec{v} = (-4 - 3, 4 - 2, 7 - 3) = (-7, 2, 4)$

パラメータ表示は、点 $(3, 2, 3)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (-7, 2, 4)$ を持つ直線として表されます。

$x = 3 - 7t$

$y = 2 + 2t$

$z = 3 + 4t$

直線の方程式は、パラメータ $t$ を消去することで求められます。

$t = \frac{3-x}{7} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{4}$

よって、 $\frac{3-x}{7} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{4}$ となります。

(3) 点 $(1, 3, 3)$ と $(1, -3, 3)$ を通る直線

方向ベクトルを計算します。

$\vec{v} = (1 - 1, -3 - 3, 3 - 3) = (0, -6, 0)$

パラメータ表示は、点 $(1, 3, 3)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (0, -6, 0)$ を持つ直線として表されます。

$x = 1 + 0t = 1$

$y = 3 - 6t$

$z = 3 + 0t = 3$

直線の方程式は、$x=1$, $z=3$となります。

3. 最終的な答え

(1)

パラメータ表示: $x = 1 - 2t$, $y = 2$, $z = 3 + 3t$

直線の方程式: $\frac{1-x}{2} = \frac{z-3}{3}$, $y=2$

(2)

パラメータ表示: $x = 3 - 7t$, $y = 2 + 2t$, $z = 3 + 4t$

直線の方程式: $\frac{3-x}{7} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{4}$

(3)

パラメータ表示: $x = 1$, $y = 3 - 6t$, $z = 3$

直線の方程式: $x=1$, $z=3$