三角形ABCにおいて、点Hは垂心である。角AHBが70度、角HBCが30度であるとき、角HBA（x）の大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Hは垂心である。角AHBが70度、角HBCが30度であるとき、角HBA（x）の大きさを求める。

2. 解き方の手順

三角形AHBについて、$\angle AHB = 70^\circ$である。

三角形の垂心は、各頂点から対辺へ下ろした垂線の交点である。

したがって、AHはBCに対する垂線、BHはACに対する垂線である。

そのため、$\angle BDA = 90^\circ$ (DはAHとBCの交点), $\angle BEC = 90^\circ$ (EはBHとACの交点)が成立する。

$\angle HBC = 30^\circ$なので、$x + 30^\circ = \angle ABC$である。

三角形の内角の和は180度なので、三角形ABHについて、

$\angle HAB + \angle AHB + \angle HBA = 180^\circ$が成り立つ。

ここで、$\angle AHB = 70^\circ$, $\angle HBA = x$であるから、

$\angle HAB + 70^\circ + x = 180^\circ$

$\angle HAB = 180^\circ - 70^\circ - x = 110^\circ - x$

$\angle BAC = \angle HAB + 70^\circ = 110^\circ - x + 70^\circ = 180^\circ - x$

次に、三角形ABCについて考える。$\angle ACB = y$とおく。

$\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ$なので、

$(x + 30^\circ) + (180^\circ - x) + y = 180^\circ$

$x + 30^\circ + 180^\circ - x + y = 180^\circ$

$210^\circ + y = 180^\circ$

$y = -30^\circ$

これはありえないため、$\angle AHB$の位置が間違っている。点Hは三角形ABCの外部にある。

ここで、$\angle HBC = 30^{\circ}$

$\angle HAC = 90^\circ - \angle C$

$\angle HBA = 90^\circ - \angle C$

$\angle HAC = 70^\circ - \angle HBA$

$\angle C = 90^\circ - 30^\circ - x$

三角形ABHの内角の和より、 $\angle HBA + \angle HAB + \angle AHB = 180^{\circ}$

$x + 70 + 70 = 180^\circ$

$x = 110$

これはおかしい。

$\angle HBA = x$

$\angle HAC = 90 - \angle ACB$

$70 = A = 110 -x$

$\angle ACB + \angle BAC + \angle ABC = 180$

3. 最終的な答え

40度