$(3x+2)^5$ の展開式における $x^3$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x+2)^5$ の展開式における $x^3$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を利用して展開します。二項定理により、

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

この問題では、$a = 3x$, $b = 2$, $n = 5$ です。$x^3$ の係数を求めるので、$n-k = 3$ となる $k$ を探します。$5-k = 3$ より、$k = 2$ です。

したがって、$x^3$ の項は、

$$\binom{5}{2} (3x)^3 (2)^2$$

となります。係数は

$$\binom{5}{2} (3^3) (2^2) = \frac{5!}{2!3!} \cdot 27 \cdot 4 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 27 \cdot 4 = 10 \cdot 27 \cdot 4 = 10 \cdot 108 = 1080$$

したがって、$x^3$ の係数は1080です。

3. 最終的な答え

1080